2014-02-24
530
Основное уравнение нагрева и вытекающие из него соотношения
Рассмотрим процесс нагревания и охлаждения проводов на примере неизолированного провода.
Примем следующее обозначения:
I - ток в проводе, А;
R - активное сопротивления провода, Ом;
А - боковая поверхность провода, см 2;
- коэффициент теплопередачи,;
G -масса провода, г;
С0 -удельная теплоёмкость материала провода,;
θ и θср -температура провода и окружающей среды, °С;
- перегрев провода, °С;
t -время нагревания, с.
Уравнения теплового баланса провода имеет вид:
(10.1)
Левая часть уравнения представляет тепло, выделяемое в проводе за время dt при прохождении тока I; первое слагаемое правой части - тепло, отведённое в окружающую среду за то же время, второе - тепло, остающееся в проводе и увеличивающее его перегрев на dv.
При достижении теплового равновесия, когда выделенное в проводе тепло полностью отводится в окружающую среду, перегрев не изменяется, т.е. dν=0, а
Следовательно:
Откуда
(10.2)
|
|
|
Разделим обе части уравнения (10.1) на А:
(10.3)
рассмотрим дробь:
видим, что она постоянна и имеет размерность времени. Введём обозначение:
(10.4)
Величину Т называют постоянной времени нагрева.
Подставляя (10.2) и (10.4) в (10.3) получим:
Это линейное дифференциальное уравнение с коэффициентами. Разделяем переменные и интегрируем:
где С - постоянная интегрирования.
Определим её из начальных условий. При t=0
где ν 0 -начальный перегрев.
(10.5)
Первое слагаемое правой части представляет собой возрастающую экспоненту, характеризующую закон нагревания провода от температуры окружающей среды до установившейся температуры, при которой:
Второе слагаемое характеризует охлаждение провода от начального перегрева ν0дотемпературы окружающей среды (см. рис. 10.1.)
Зависимости, характеризующие режим нагревания провода
Рисунок 10.1
Кривая 3 при отчёте от верхний оси t' определяет перегрев провода в
каждый данный момент времени, а от нижней t" - температуру- θ провода в °С.
Если нагрев начинается тогда, когда температура провода равна температуре среды (ν0=0). Уравнение (10.5) упрощается и принимает вид:
Задаваясь значениями t, равными Т, 2Т, ЗТ, 4Т, получим значения ν соответственно (см. рис. 10.2)
0,63; 0,86; 0,95; 0,98νуст
Зависимость ν (t) при ν0=0
Рисунок 10.2.
Ограничиваясь для практических расчётов точностью 95%, можно считать процесс нагревания законченным по истечении времени ЗТ. Для проводов ВЛ можно принять Т 10 мин, т.е. они нагреваются до установившейся температуры в течение 0,5 часа. Для двигателей Т=1,5-2ч., а для силовых трансформаторов Т=3ч. Следовательно их нагревание до установившейся температуры продолжается соответственно 1,5-6 или 9 часов.
|
|
|
Примем, тогда ток нагрузки так же будет равен допустимому току Iдоп и выражение (10.2) примет вид:
Откуда следует:
(10.7)
Боковая поверхность провода:
Где - диаметр провода;
L - длина провода;
S - площадь поперечного сечения провода.
Активное сопротивление провода:
где γ - удельная проводимость.
После подстановки в формулу (10.7) получим:
(10.8)
где С- постоянная, значение которой зависит от выбора размерности величин, входящих в формулу.
Выражение (10.8) позволяет рассчитать предельно допустимую длительную нагрузку на провод по значениям четырёх входящих в это выражения величин. Для провода из определённого материала в заданных температурных условиях значения величинνдоп и γ известны. Коэффициент теплоотдачи для заданных условий также лежит в определённых границах.
Следовательно, формула (10.8) позволяет рассчитать зависимость Iдоп(S). Эту зависимость выражают в виде таблиц, каждая из которых относится к определённой конструкции провода или кабеля и к определённым температурным условиям (θдоп и θср).
Поделив почленно уравнение (10.8) на площадь сечения S получим зависимость допустимой плотности тока по нагреву от сечения:
(10.9)
Отсюда следует, что допустимая плотность тока по нагреву обратно пропорциональна корню четвертой степени из значения площади сечения.
Уменьшение допустимой плотности тока с увеличением площади сечения объясняется ухудшением отвода тепла: поверхность охлаждения возрастает пропорционально диаметру сечения, а его площадь - пропорционально квадрату диаметра. Поэтому поверхность охлаждения, приходящаяся на каждый квадратный миллиметр площади поперечного сечения провода, уменьшается с увеличением последней и отвод тепла ухудшается.
Формула (10.8) позволяет найти поправочный коэффициент на температуру окружающей среды θср, если она отличается от положенной в основу таблицы.
Если допустимая нагрузка при θср была I’доп, то при θ’’ср допустимая нагрузка I’’доп изменяется пропорционально:
