Эмпирическая функция распределения

Проводится изучение некоторого признака генеральной совокупности. Пусть - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака Относительная частота события есть отношение

Эмпирической функцией распределения называют функцию вида

Эта функция обладает теми же свойствами, что и функция распределения в теории вероятностей. Это её аналог, полученный опытным путём.

Для наглядного изображения статистического ряда распределения существуют полигон и гистограмма.

Полигон относительных частот - ломаная линия, соединяющая точки с координатами

полигон частот – точки с координатами

В случае непрерывного признака строят гистограмму частот либо относительных частот.

Это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых - интервалы длиной, а высоты – плотность частоты либо относительной частоты. Последние определяются по формулам

Пример. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки

.

Решение. Находим относительные частоты и плотность относительной частоты на каждом интервале. Длина интервала Данные заносим в следующую таблицу:

.

Строим график. На оси ОХ откладываем значения признака, разбитые на интервалы

На оси ОY– значения плотности относительной частоты.

0,06

0,04

0,02

0 5 10 15 20 25 30

Площадь, ограниченная гистограммой относительных частот, всегда равна единице (аналогично графику дифференциальной функции распределения).

Площадь, ограниченная гистограммой частот, всегда равна объёму выборки.

Статистические оценки параметров распределения

Теоретическими параметрами (характеристиками) нормально распределённого признака служат математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Для распределения Пуассона это параметр. Поскольку статистика оперирует данными выборки, в нашем распоряжении только данные выборки, по которым мы должны оценить теоретический параметр. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют некоторую функцию от наблюдаемых значений случайной величины.

Например, оценкой математического ожидания нормально распределённого признака служит функция, т.е. среднее арифметическое наблюдаемых значений прзнака.

Чтобы статистическая оценка давала хорошее приближение, она должна удовлетворять определённым требованиям.

Пусть статистическая оценка неизвестного теоретического параметра. По выборке объёма найдём оценку. Повторяя опыт раз, получим значений оценки. Таким образом, можно рассматривать как случайную величину с возможными значениями.

Если последние дают приближённое значение с избытком, тогда Здесь - среднее значение.Наоборот, если оценка даёт приближённое значение с недостатком, её среднее значение меньше истинного. Таким образом, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к систематическим (т.е. одного знака) ошибкам. Поэтому естественно требовать, чтобы. Хотя соблюдение этого требования не исключает ошибок, они имеют разные знаки, и таким образом устраняются систематические ошибки.

Несмещённой называют статистическую оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки. Т.е. выполняется условие.

В противном случае оценка является смещённой.

Эффективной называют оценку, которая при заданном объёме выборки даёт наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при увеличении объёма выборки стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. удовлетворяет условию