Формула Тейлора для функции двух переменных

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Формула Тейлора для функции двух переменных.

2. Формула Маклорена.

Напоминание. Формула Тейлора для функции одной переменной с остаточным членом в форме Лагранжа записывается через дифференциалы этой функции в виде:

.

Теорема 1 (Тейлора). Пусть функция двух переменных непрерывна со всеми частными производными до порядка включительно в некоторой -окрестности точки . Тогда справедлива формула формулой Тейлора для функции двух переменных

, (1)

где , ; .

► Рассмотрим вспомогательную функцию

, ,

которая является сложной функцией независимой переменной и имеет -ю производную по на отрезке .

Согласно формуле Тейлора для функции одной переменной с остаточным членом в форме Лагранжа имеем

,

(2)

где .

Отсюда при получим

,

где .

Найдем производные функции . Так как и , то первая производная есть:

,

вторая –

.

По индукции получаем:

, ,

.

Тогда

,

,

,

…………………………………………………

,

.

Подставляя в формулу (2), имеем

,

где .◄

Следствие. При условиях теоремы 1 имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

. (3)

► Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа для функции

является при бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с , где . Поэтому остаточный член можно представить в форме Пеано

. ◄