Продуктивные матрицы

Лекция 3

Пусть имеется экономическая система, сфера производства которой состоит из n отраслей, выпускающих n видов продукта, причем каждая отрасль выпускает ровно один вид продукции. Будем считать дополнительно, что сложившаяся технология неизменна (стационарна).

Предположим, что для производства 1-й отраслью единицы 1-го продукта требуется ai1 ≥ 0 единиц i -го продукта, производимого i -ой отраслью. То есть по горизонтали рассматривается объем производства, а по вертикали необходимые составляющего этого процесса: продукция из других отраслей. Соответствующая таблица затрат выглядит следующим образом:

или короче:

A =

Полученная неотрицательная матрица А называется матрицей материальных затрат или матрицей прямых затрат или технологической матрицей.

Матрица А дает информацию о сложившейся структуре межотраслевых связей, о существующей технологии общественного производства и используется в текущем и долгосрочном планировании.

Предположим, что за некоторый период (обычно за год), выпущено x1 единиц 1-го продукта, x2 единиц 2-го продукта, …, xn единиц n -го продукта.

Тем самым, задан столбец:

x = ,

называемый столбцом валового выпуска или режимом работы отраслей.

При заданном столбце выпуска x совокупные затраты i -го продукта в рассматриваемой производственной сфере равны: .

Из этих величин составляется столбец совокупных материальных затрат в сфере производства:

A x =

Матрица материальных затрат А ³ 0 называется продуктивной, если найдется такой столбец выпуска х > 0, для которого выполняется неравенство

А х < х.

Это неравенство означает, что существует хотя бы один режим работы отраслей данной экономической системы, при котором каждого продукта выпускается больше, чем затрачивается на его производство. То есть, при этом режиме сфера производства создает положительный столбец прибавочного (конечного) продукта У: У = х – А х > 0

ТЕОРЕМА. Для любой неотрицательной квадратной матрицы А³О формулируемые ниже условия равносильны.

(1) Матрица А продуктивна.

(2) Для любого столбца с > 0 существует, и притом ровно один, столбец выпуска

х > О такой, что х – А х = с

(3) Столбца выпуска х > 0, совокупные затраты на создание которого удовлетворяют условию А х ³ х, не существует.

(4) Наибольшее собственное значение матрицы А удовлетворяют неравенству

lА = lmax < 1.

При выполнении хотя бы одного из этих условий выполняются и три остальных.