Сигналы с угловой модуляцией [1,25]

При угловой модуляции (angle modulation) в несущем гармоническом колебании u(t) = U_mcos(wt+j) значение амплитуды колебаний U_m остается постоянным, а информация s(t) переносится либо на частоту w, либо на фазовый угол j. И в том, и в другом случае текущее значение фазового угла гармонического колебания u(t) определяет аргумент y(t) = wt+j, который называют полной фазой колебания.

Фазовая модуляция (ФМ, phase modulation - PM).При фазовой модуляции значение фазового угла j(t) несущей частоты колебаний w_o пропорционально амплитуде модулирующего сигнала s(t). Уравнение ФМ – сигнала:

u(t) = U_m cos[w_ot + j(t)], j(t) = b s(t). (15.2.1)

Коэффициент пропорциональности b называется индексом фазовой модуляции. Полная фаза колебаний несущей в текущие моменты времени соответственно определяется выражением:

y(t) = w₀t + bs(t).

Пример однотонального ФМ – сигнала приведен на рис. 15.2.1. При s(t) = 0, ФМ – сигнал является простым гармоническим колебанием и показан функцией u_o(t). С увеличением значений s(t) полная фаза колебаний y(t) нарастает быстрее и опережает линейное нарастание w_ot. Соответственно, при уменьшении значений s(t) скорость роста полной фазы во времени спадает. В моменты экстремальных значений s(t) абсолютное значение фазового сдвига Dy между ФМ – сигналом и значением w_ot немодулированного колебания также является максимальным и носит название девиации фазы.

Рис. 15.2.1. Фазомодулированный сигнал.

Для колебаний с угловой модуляцией применяется также понятие мгновенной частоты (instantaneous frequency), под которой понимают производную от полной фазы по времени:

ω(t) = y(t)/dt = ω_o + b ds(t)/dt.

Полная фаза колебаний в произвольный момент времени может быть определена интегрированием мгновенной частоты:

y(t) =ω(t) dt +j_o,

где j_o = const – произвольная постоянная интегрирования.

Частотная модуляция (ЧМ, frequency modulation - FM) характеризуется линейной связью модулирующего сигнала с мгновенной частотой колебаний, при которой мгновенная частота колебаний образуется сложением частоты высокочастотного несущего колебания w_o со значением амплитуды модулирующего сигнала с определенным коэффициентом пропорциональности Dw - девиацией частоты:

w(t) = w_o + Dw×s(t). (15.2.2)

Соответственно, полная фаза колебаний:

y(t) = ω_o(t) + Dws(t) dt +j_o,

Уравнение ЧМ – сигнала:

u(t) = U_m cos(ω_ot+Dws(t) dt +j_o). (15.2.3)

Частотная и фазовая модуляция взаимосвязаны. Если изменяется начальная фаза колебания, изменяется и мгновенная частота, и наоборот. По этой причине их и объединяют под общим названием угловой модуляции (УМ). По форме колебаний с угловой модуляцией невозможно определить, к какому виду модуляции относится данное колебание, к ФМ или ЧМ, а при достаточно гладких функциях s(t) формы сигналов ФМ и ЧМ вообще практически не отличаются.