Множество векторов К называют обратной решеткой к данной решетке Браве, если плоская волна с волновым вектором К имеет периодичность заданной решетки Браве. Т.е. если для любых r и R =m a1 +n a2 +p a3 для прямой решетки Браве выполняется условие
или
, (*)
то K – вектор обратной решетки.
Набор векторов К сам образует решетку Браве
,
в которой векторы элементарных трансляций b1, b2, b3, определены через элементарные векторы прямой решетки a1, a2, a3
, , ,
где - объем элементарной ячейки.
Так как , если , и , если ,
то .
Поэтому условие (*) выполняется при целых числах h,k,l.
Последнее условие совпадает с условием дифракции Лауэ. Таким образом условие Лауэ означает, что дифракционные максимумы наблюдаются, если волновой вектор рассеяния K = k ’- k совпадает с одним из векторов обратной решетки Браве.
Примеры и свойства обратных решеток.
Прямая кубическая решетка Браве Обратная решетка Браве
Условная элементарная ячейка кубической решетки, с базисом из двух узлов.
Прямая г.ц.к. Обратная о.ц.к.
Прямая о.ц.к. Обратная г.ц.к.
Простая гексагональня Обратная гексагональная
(повернута на 300)
Элементарную Ячейку Вигнера_Зейтца для обратной решетки называют первой зоной Бриллюэна
Пример построения первой зоны Бриллюэна для плосой косоугольной обратной решетки
Примитивный базис г.ц.к. решетки и зона Бриллюэна г.ц.к. решетки
(усеченный октаэдр)
Примитивный базис о.ц.к. решетки и первая зона Бриллюэна (12-гранник - ромбододекаэдр)
Теорема о свойствах векторов обратной решетки
Эквивалентность формулировок дифракции Лауэ и Брэгга
, ,
→
Классификация атомных плоскостей. Индексы Миллера.
Кристаллографическое направление R =m a 1+n a 2+p a 3]- направление прямой, проходящей через два узла прямой решетки.Браве. Если один из узлов, через который проведена прямая, принять за начало координат, то положение ближайшего к нему узла, полностью характеризует положение прямой в кристалле. Координаты этого узла [mnp] называют символом направления в решетке, а индексы m, n, p - индексами Миллера кристаллографического направления
Индексы Миллера атомной плоскости (h,k,l) – это координаты наименьшего вектора обратной решетки G =h b 1+k b 2+l b 3, перпендикулярного данной плоскости, в системе координат, заданной векторами обратной решетки b 1, b 2, b 3.
Свойства индексов Миллера для атомных плоскостей: h,k,l - целые, не имеют общего делителя, относятся друг к другу как обратные длины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат элементарной ячейки прямой решетки и выраженных в длинах элементарных векторов трансляций a 1, a 2, a 3.