В ряды с начальными аргументами

Разложение разностей широт, долгот и азимутов

Из уравнений (6. 1) видно, что геодезические широта, долгота и азимут определяемой точки на поверхности эллипсоида являются некоторыми, пока неопределенными функциями от расстояния между определяемой и исходной точками. Это можем записать в виде

. (6. 2)

При условии, что эти функции дифференцируемы и допускают разложение в ряд Тейлора по степеням малой величины s, запишем

(6. 3)

При условии, когда s = 0, очевидно будем иметь B₁=f₁ (0); L₁=f₂ (0); B₁=f₃ (0) и уравнения (6. 3) запишутся в виде

(6. 4)

В уравнениях (6. 4), в отличие от уравнений (6. 3), вид функций, связывающих координаты двух точек определен, а именно, выражения для первых производных нам известны из (4. 39), которые мы запишем с учетом принятых обозначений

(6. 5)

Вычисление последующих производных не вызывает труда, когда вторая производная равна производной от первой и т. д. Здесь применяем правила дифференцирования сложных функций, неявно зависящих от переменной s.

(6. 6)

Действуя аналогично и опуская промежуточные действия, получаем для вторых производных от f₂ (s) и f₃ (s) следующие выражения.

. (6. 7)

Возникает вопрос, сколько членов разложения следует брать в (6. 4) для обеспечения необходимой точности вычислений широт, долгот и азимутов. Заметим из (6. 5) – (6. 7), что с возрастанием порядка численные значения производных уменьшаются. При этом будут уменьшаться и численные значения членов разложений (6. 4) не хуже, чем (s / R)ⁿ , где n – его порядковый номер и при расстояниях s ≤ 30 км будем иметь малые величины первого, второго, третьего и т. д. порядка:

(s / R)¹ ≤ 5*10^-3; (s / R)² ≤ 2*10^-5; (s / R)³ ≤ 10^—7; (s / R)⁴≤ 5*10^-10 и т. д.

Таким образом видим, что достаточно удерживать три члена разложения, при этом точность вычислений, оцененная с помощью остаточного члена разложений в форме Лагранжа, меньше требуемой точности вычислений широт, долгот и азимутов. Здесь говорят, что для решения задачи на малые расстояния достаточно удерживать малые величины третьего порядка.

Третьи производные в (6. 4) получаются как производные от вторых, выражения которых приведем без вывода, опуская слагаемые, содержащие множителями e^/2, значение которых меньше требуемой точности вычислений (имея в виду, что e^/2 ≈ 7*10^-3 – малая величина первого порядка).

(6. 8)

Подставляя полученные выражения производных в (6. 4), получим рабочие формулы для вычислений, наиболее удобные для решения прямой геодезической задачи на расстояния до 30 км. В формулах значения производных (коэффициентов разложений) вычисляются по координатам начальной точки, отсюда название формул.