И плоскости

Связь полярных координат на поверхности эллипсоида

Уравнения (7. 1) – (7. 4) при соответствующем выборе вида функций осуществляют связь между параметрическими координатами на поверхности эллипсоида и плоскости. Для геодезических проекций необходимо также иметь формулы, связывающие сфероидические и плоские полярные координаты.

Рис. 7. 3

На рис. 7.3 показано изображение геодезической линии эллипсоида на плоскости проекции, длиной S и ее хорда d. Показаны также геодезический азимут А12, дирекционный угол α12, поправка за кривизну изображения геодезической линии эллипсоида на плоскости проекции. Q1k – касательная к кривой S в точке Q1. Несложно заметить уравнение связи дирекционного угла и азимута (7. 12)

Формулы для вычисления сближения меридианов γ₁ в точке Q₁ получают из уравнений (7. 10). Поправка в направление за кривизну изображения геодезической линии эллипсоида на плоскости δ₁₂ получается по формулам дифференциальной геометрии и для малых длин может быть записана в виде

(7. 13)

где Г – кривизна кривой s, определяемая из уравнения Схольса

(7. 14)

Связь длины кривой S на плоскости с длиной геодезической линии эллипсоида s выражается интегралом

(7. 15)

Связь длины хорды d с длиной кривой S определяется уравнением дифференциальной геометрии

(7. 16)

Таким образом получены основные уравнения конформных геодезических проекций. Конкретный вид проекции, вообще говоря, определяется функциями (7. 3) – (7. 4), этот процесс может быть весьма трудоемким, но для конформных геодезических проекций можно определить более простой путь их выбора.