Математические модели простейших систем массового обслуживания

Одноканальная СМО с отказами

система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):

Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):

N – канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.

Имеется n – каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Состояние системы S нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):

· S ₀ – в СМО нет ни одной заявки;

· S ₁ – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

·...

· S _n – в СМО находится n – заявок (все n – каналов заняты).

Граф состояний

Абсолютная пропускная способность:

где n – количество каналов СМО;

– вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S ₀);

Относительная пропускная способность:

Вероятность отказа:

Среднее число занятых каналов: