Вторая теорема Больцано-Коши

Первая теорема Больцано-Коши

Вторая теорема Больцано-Коши

Первая теорема Больцано-Коши

План

Лекция 7. Функции, непрерывные на сегменте (продолжение)

Вопросы

1. Какая СЛАУ называется неоднородной?
2. Теорема об LU-разложении матрицы.
3. Для любой ли матрицы существует LU-разложение?
4. Сколько различных LU-разложений существует для матрицы?
5. Метод решения СЛАУ, основанный на LU-разложении матрицы системы.
6. Для каких матриц существует симметричное разложение?
7. Какая матрица называется полложительно определенной?
8. Существует ли для положительно определенной матрицы LU-разложение?
9. Метод Холесского.

Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна на, а на концах сегмента принимает значения разных знаков, то есть. Тогда существует такая точка, что.

Доказательство. Пусть для определенности. Разобьем точкой пополам (рис.1). Если, то все доказано. Если, то на концах одного из сегментов, функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его (рис.1). Для него:. Будем обозначать длину сегмента как. Тогда.

Сегмент поделим пополам точкой. Если, то все доказано. Если, то на концах или функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его. Для него:,.

Продолжим этот процесс. Тогда на м шаге возможны две ситуации:

1., тогда все доказано;

2.. На концах или функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его. Для него:,.

Предположим, что ни на каком шаге функция в средней точке рассматриваемого сегмента не имеет значения 0. В ходе доказательства мы получили бесконечную последовательность вложенных сегментов:

, (1)

для которых, поэтому

. (2)

Из (2) по определению границы последовательности вытекает, что

для, что для:, т.е. для в построенной последовательности (1) вложенных сегментов существуют такие, длина которых будет меньше. Тогда по лемме о вложенных сегментах из этого будет вытекать, что последовательность (1) вложенных сегментов имеет лишь одну общую точку. Обозначим эту точку; для:, а поскольку длины сегментов стремятся к нулю, когда (равенство (2)), то

. (3)

Из (3) очевидно, что мы имеем две сходящихся последовательности:,, которые сходятся к точке. Поскольку по условию теоремы функция непрерывна везде на, то она непрерывна и в точке. Тогда по определению непрерывности функции по Гейне:

Поскольку для:, то

. (4)

Поскольку для:, то

. (5)

Сравнивая (4) и (5), имеем:

.

Таким образом, искомая точка найдена, теорема доказана.

Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна на,,. Тогда для, что

.

Доказательство. Пусть для определенности (если совпадает с или с, тогда как можно взять или - все доказано).

Построим вспомогательную функцию

.

Рассмотрим ее на. На этом сегменте - непрерывна, потому что является разностью двух непрерывных функций и, к тому же:

,

,

т.е. на концах сегмента функция принимает значения разных знаков. Тогда по предыдущей теореме, что, т.е., а тогда, что и нужно было доказать.

Следствие. Пусть функция определена и непрерывна на, тогда множество ее значений - сегмент.

Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса достигает на своих супремума и инфимума. Обозначим:

.

Тогда

;

.

По второй теореме Больцано-Коши функция принимает все промежуточные значения, которые находятся между и, то есть областью значений является сегмент, что и нужно было доказать.