Основы физической кинетики

Явления переноса

Статистическая физика имеет дело с равновесными состояниями тел и с обратимыми процессами (т.е. с процессами, при которых система проходит через последовательность равновесных состояний). Наука, изучающая процессы, возникающие при нарушении равновесия, носит название физической кинетики.

При нарушении равновесия система стремится вернуться в равновесное состояние. Мы ограничимся рассмотрением явлений, возникающих в газах в тех случаях, когда отклонения от равновесия невелики. При нарушениях равновесия в телах возникают потоки тепла, либо массы, электрического заряда и т.п. В связи с этим соответствующие процессы носят название явлений переноса. Причиной любого явления переноса является наличие градиента некоторой физической величины. Мы рассмотрим три явления переноса в газах – теплопроводность, диффузию и внутреннее трение или вязкость. Во всех этих явлениях важную роль играет такая физическая величина как средняя длина свободного пробега молекул газа.

Средняя длина свободного пробега молекул газа

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Термин “столкновение” применительно к молекулам не следует понимать буквально и представлять себе этот процесс подобным соударению твёрдых шаров. Под столкновением молекул подразумевают процесс взаимодействия между молекулами, в результате которого молекулы изменяют направление своего движения.

На рисунке показана кривая, изображающая взаимную потенциальную энергию двух молекул как функцию расстояния r между их центрами. Рассмотрим с помощью этой кривой процесс сближения (соударения) молекул. Поместим мысленно центр одной из молекул в начало координат, а центр второй молекулы представим перемещающимся по оси r. Пусть вторая молекула летит по направлению к первой из бесконечности, имея начальный запас кинетической энергии e_к=e₁. Приближаясь к первой молекуле, вторая молекула под действием силы притяжения движется со всёвозрастающей скоростью. В результате кинетическая энергия e_к молекулы растёт, а потенциальная e_п одновременно уменьшается, но их сумма e = e_к+e_п = const остаётся неизменной. При прохождении молекулой точки с координатой r_o силы притяжения сменяются силами отталкивания, вследствие чего молекула начнёт быстро терять скорость (в области отталкивания кривая e_п идёт круто вверх). В момент, когда потенциальная энергия e_п становится равной полной энергии системы e₁, скорость молекулы обращается в нуль. В этот момент имеет место наибольшее сближение молекул друг с другом. После остановки молекулы все явления протекают в обратной последовательности.

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d. Величина

s = pd²

называется эффективным сечением молекулы. Как видно из рисунка, эффективный диаметр молекул зависит от их энергии, а следовательно, и от температуры. С повышением температуры эффективный диаметр молекул уменьшается.

Длина свободного пробега молекулы – это путь l, который молекула проходит между двумя последовательными соударениями. Длина свободного пробега – случайная величина. Иной раз молекуле удаётся пролететь между соударениями довольно большой путь, в другой раз этот путь может оказаться весьма малым. Поэтому вводится понятие среднего значения длины свободного пробега l = < l >.

За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости < u >. Если за секунду она претерпевает в среднем z столкновений, то средняя длина свободного пробега будет равна

.

Для того чтобы подсчитать среднее число столкновений z, предположим вначале, что все молекулы, кроме данной, застыли неподвижно на своих местах. Проследим за движением выделенной нами молекулы. Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет лететь прямолинейно до тех пор, пока не столкнётся с какой-либо другой неподвижной молекулой. Это соударение произойдёт в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется от прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра молекулы d. В результате столкновения молекула изменит направление своего движения, после чего некоторое время опять будет двигаться прямолинейно, пока на её пути снова не встретится молекула, центр которой будет находиться в пределах показанного не рисунке цилиндра радиуса d.

За секунду молекула проходит путь, равный < u >. Число происходящих за это время соударений с неподвижными молекулами равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь коленчатого цилиндра длины < u > и радиуса d.

,

где n – число молекул в единице объёма.

В действительности все молекулы движутся, вследствие чего число соударений определяется средней скоростью движения молекул по отношению друг к другу, а не средней скоростью < u > молекул относительно стенок сосуда. Относительная скорость движения двух произвольно взятых молекул равна

.

Возведя в квадрат это выражение, получим

.

Средние значения суммы нескольких величин равно сумме средних значений складываемых величин. Поэтому

.

События, заключающиеся в том, что первая молекула имеет скорость , а вторая – скорость являются статистически независимыми, поэтому . Для газа, находящегося в равновесии, каждый из сомножителей равен нулю. Таким образом

.

Полученный результат означает, что

.

Средне квадратичные скорости пропорциональны средним арифметическим. Следовательно

.

Тогда, для среднего числа столкновений за секунду получим выражение

,

а для средней длины свободного пробега следующую формулу

.

Если концентрацию газа определить из соотношения P = nkT, получим другую формулу для средней длины свободного пробега

.

Для оценки порядка величины l и z, рассмотрим следующий пример:

О₂ – кислород, Т =300 К, Р =10⁵ Па, эффективный диаметр молекулы кислорода возьмём из таблицы, d =0,36×10^{-9 м. Тогда, для средней длины свободного пробега получим значение порядка} l~ 10^-7­ м, а число столкновений за секунду z ~10¹⁰ c^-1.