Вычисление главного собственного вектора матрицы парного сравнения

Аксиоматические и вычислительные основы МАИ

В основе метода анализа иерархий лежат следующие аксиомы:

1. Обратная симметричность как основная характеристика парных сравнений. Для матрицы парных сравнений А = (а_ij) интенсивность предпочтения а_i над а_j обратна интенсивности предпочтения а_j над а_i.

2. Гомогенность сравниваемых элементов данного уровня иерархии.

3. Зависимость нижнего уровня от непосредственно примыкающего к нему высшего уровня.

Поскольку количество сравниваемых элементов, как правило, не превышает семи (психологический предел 7±2 элементов-объектов при одновременном сравнении), результатом суждений по каждому отдельному уровню иерархии является квадратная неотрицательная обратносимметрическая матрица порядка не более семи, диагональные элементы-числа которой равны единице, а остальные элементы подчинены равенству:

а_ij = 1/ а_ji. (1)

Вычислительные аспекты метода связаны с операциями над матрицами парных сравнений, или, иначе, суждений. В результате определенных операций над каждой из матриц суждений могут быть вычислены приоритеты сравниваемых элементов-объектов данного уровня иерархии и степень согласованности суждений (под которым понимается мера отклонения матрицы суждений от матрицы отношений, элементами-числами которой являются отношения весов сравниваемых элементов-объектов). Суммарные (общие) приоритеты нижних элементов-объектов могут быть найдены в результате выполнения арифметических действий (умножения) над соответствующими матрицами суждений для каждого элемента-объекта вышестоящих уровней. По аналогичным правилам, только над матрицами-столбцами, составленными из числовых мер согласованности для отдельных матриц суждений (также для каждого из вышестоящих элементов-объектов), вычисляется мера согласованности иерархии в целом.

Приближенное вычисление векторов приоритетов производится простой математической операцией: перемножением всех элементов каждой строки и извлечением корня соответствующей степени с последующей нормализацией полученных величин. Более точное вычисление основано на теореме, согласно которой нормализованные строчные суммы степеней примитивной матрицы в пределе дают искомый собственный вектор. Краткий вычислительный способ получения данного вектора сводится к возведению матрицы в степени, каждая из которых представляет собой квадрат предыдущей. Строчные суммы вычисляются и нормализуются. Вычисления прекращаются, когда разность между этими суммами для двух последовательных итераций становится меньше заданной величины.