Идея дисперсионного анализа

Чтобы иметь возможность оценивать влияние каждого факторе на отклик и сравнивать влияние различных факторов, установим некоторый количественный показатель этого влияния. Пусть в отсутствие ошибок опыта () при варьировании фактора х на и разных уровнях получены истинные значения у₁, у₂,...,у _j,...,у_n отклика y. Тогда в качестве показателя влияния фактора х примем величину,по аналогии с обычной дисперсией называемую дисперсией фактора х, т е.

, (10.1)

где . При этом будем иметь в виду, что числа у_j не являются случайными и поэтому дисперсия не связана ни с какой случайной величиной, так как мы полагаем =0 Изучать влияние факторов по величинам их дисперсий удобно, поскольку это простейшая мера рассеяния и к тому же аналогичная мере влияния фактора случайных причин, т. е. дисперсий единичного наблюдения (воспроизводимости) . Благодаря этому имеется возможность сравнивать влияние любого изучаемого фактора и фактора случайности. Такое исследование факторов по их дисперсиям называется дисперсионным анализом (предложен в 20-х годах нашего столетия Р. А. Фишером и развит Йейтсом).

Рассмотрим идею дисперсионного анализа (ДА) на примере изучения влияния одного фактора х на фоне случайных погрешностей, когда дисперсия воспроизводимости известна. При варьировании фактора х на и уровнях в результате наблюдения * получим значения отклика у₁, у₂,..., у_j,..., у_u, рассеяние которых можно характеризовать выборочной дисперсией

(10.2)

с числом степеней свободы g₀=u-1. Если отличие от незначимо, то разброс наблюдений, который она характеризует, связан только со случайными причинами и влияние фактора х несущественно. Если же отличие от значимо, то повышенный разброс наблюдений вызывается не только случайными причинами, но еще и влиянием фактора х, которое теперь нужно признать существенным Так как в последнем случае складываются влияния двух независимых факторов 1) случайных причин (с дисперсией отклика ); 2) фактора х (с дисперсией ), что приводит к общему рассеиванию наблюдений,—то общая дисперсия является суммой () двух указанных, а ее оценка

, (10.3)

* Без проведения параллельных опытов на каждом j-м уровне.

откуда дисперсия фактора определяется выражением

. (10.4)

В общем случае, когда дисперсия воспроизводимости неизвестна, схема ДА должна позволить найти ее оценку наряду с оценками дисперсий изучаемых факторов. С этой целью планируется проведение серий параллельных опытов при каждом из всех возможных сочетаний уровней изучаемых факторов. Таким образом, основная идея ДА заключается в разложении оценки общего рассеивания отклика на составляющие, зависящие: 1) от случайных причин; 2) от каждого из рассматриваемых факторов и 3) от их взаимодействий в отдельности, а также в оценивании статистической значимости дисперсий последних с учетом ошибки воспроизводимости опыта.