Принцип максимума

Задача с изопараметрическими связями

Задача с дифференциальными связями

Задача с голономными связями

Вариационная задача на условный экстремум

Вариационная задача с односторонней вариацией

Вариационная задача с угловыми точками

Вариационная задача с подвижными границами

Организация деловых переговоров, методы их проведения.

Деловые переговоры - это вид совместной деятельности с партнерами, направленной на решение проблем и предусматривающей заключение дого­воров, сделок, контрактов.

Стратегии деловых переговоров различаются уровнем культуры парт­неров, уровнем развития деловых отношений, методами проведения, целями и способами их достижения.

Примитивные переговоры. Основной метод таких переговоров - "по­зиция торга". Решающими оказываются сила воли, напористость, умение скрывать свои интересы, выдавать мнимое за действительное, способность чувствовать опасность. Главная цель такой стратегии - продать подороже и купить подешевле. Участников переговоров доверие и дальнейшие отноше­ния сторон не волнуют.

Стратегия баланса. Речь идет о балансе между жестким и мягким ме­тодом ведения деловых переговоров. Эта стратегия ориентирована на дости­жение цели любой ценой, пренебрегая интересами партнеров.

Стратегия цивилизованного рынка. Она базируется на методе принци­пиальных переговоров, то есть жестком по существу дела и мягком в отно­шениях между участниками. Целью таких переговоров является стремление найти взаимную выгоду, добиться обоснованного справедливого результата

В деловых переговорах выделяют три стадии:

- подготовка к переговорам;

- процесс ведения переговоров;

- анализ результатов ивыполнение достигнутых договоренностей.

Подготовка к переговорам предполагает подготовку организационных

вопросов (формирование делегации, определение места и времени встречи, повестки дня каждого заседания, согласование с заинтересованными лицами и организациями касающихся их вопросов) и содержательной части (анализ проблемы и формирование общего подхода к переговорам, определение воз­можных вариантов решения, продумывание аргументации).

На переговорах используют различные тактические приемы ("уход", "выжидание", "выражение согласия", "салями", "пакетирование", "вы­движение требований в последнюю минуту"). Нельзя применять приемы, направленные на конфронтацию и "грязные методы" ведения переговоров.

Критерии успеха переговоров:

- они привели к соглашению;

- они способствовали улучшению и развитию отношений;

- они были достаточно эффективны (соблюдались интересы всех сторон).

В практике встречаются задачи, когда один или оба конца варьируемой кривой не закреплены. Тогда класс допустимых кривых расширяется: кроме кривых, имеющих общие граничные точки, с кривой можно брать и кривые со смещенными граничными точками. Поэтому если на кривой достигается экстремум в задаче с подвижными граничными точками, то экстремум тем более достигается и в более узком классе кривых, имеющих общие граничные точки с кривой следовательно, должна удовлетворять необходимым условиям экстремальности в задаче с закрепленными границами.

Пример.

Решение последнего уравнения есть. Для определения должно быть два условия. В задаче с подвижными границами они отсутствуют. При подстановке функционал примет вид

т.е. будет функцией от двух аргументов -.

Будем считать, что точка закреплена, а может перемещаться и переходит в точку.

Кривые и будем считать близкими, если малы.

Функционал на экстремалях пучка превращается в функцию от. Вычислим его вариацию при перемещении граничной точки из в.

Нужно выделить линейную (относительно) часть из приращения функционала.

Первое слагаемое в правой части преобразуем с помощь теоремы о среднем.

В силу непрерывности функции:

при или.

Второе слагаемое в правой части разложим в ряд Тейлора.

,

где есть бесконечно малая большего порядка, чем или.

Т.к. функционал исследуется на экстремали, то. Кроме того, закреплен, значит,.

(25)

Если варьирование независимы, то

(26)

(26) – условия трансверсальности. Здесь правый конец произвольно перемещается по плоскости. Однако часто бывают задачи, когда связаны некоторым условием. Тогда.

(27)

(28)

(28) – условие трансверсальности.

Условия (26, 28) позволяют определить и точку.

Если тоже перемещаются по некоторой кривой, то должно выполняться условие.

Пример.

Определить кривую, на которой достигается экстремум функционала.

Экстремаль такого функционала имеет вид:

Определим из условия трансверсальности.

Будем считать, что на правом конце траектория не закреплена.

(29)

Если не закреплены и независимы, то условия трансверсальности имеет вид:

(30)

Если граничные точки на правом конце траектории перемещаются по некоторой кривой, то вариация может быть записана в виде

Тогда

,

что может быть записано как

(31)

Пример.

1) определим экстремали функционала

Дальше нужно найти условия, которому следует левый конец.

$

Если некоторые точки могут перемещаться по некоторой поверхности, то

независимы, тогда

Экстремали данного функционала являются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями, если вдоль них не обращается в 0 выражение. Однако, в ряде задач кривые, на которых достигается экстремум, могут иметь изломы в некоторых промежуточных точках интервала. Изломы возможны только в тех точках, где.

Рассмотрим задачу о нахождении функционала, когда кривые, на которых определен функционал, удовлетворяют граничным условиям

и могут иметь изломы в некоторых точках.

Представим функционал в виде

Выпишем первые вариации обоих функционалов.

На и граничные условия состоят в том, что один конец свободен, а другой закреплен, причем из непрерывности функционала следует, то. На каждом из, выполняются условия Эйлера.

Необходимо чтобы.

независимы.

(32)

(32) – условия Эрдмана-Вейерштрасса.

Условия показывают, что в точке излома экстремали функционала функции должны быть непрерывны.

Условия позволяют найти произвольные постоянные в области решения.

Пусть задан. Ранее было показано, что.

До излома:.

После излома:.

Запишем условия Эрдмана-Вейерштрасса:

Точки заданы.

M

N

P

Q

B

A

Необходимо получить условие в точке перехода экстремали на границу области, которые позволят определить точки.

Сначала получим условие в точке. В других точках условия получим аналогично.

При вычислении вариации функционала

можно считать, что вариация вызывается лишь смещением точки по кривой. Т.е. моно считать, что при любом положении точки на кривой дуга уже есть экстремаль, а участок не варьируется.

Функционал имеет подвижную граничную точку, которая перемещается по границе области. Пусть уравнения границы разрешимо относительно. Тогда первая вариация равна:

Здесь - промежуточная между.

Здесь - промежуточная между.

Предположим, что, Это естественно для множества задач. Тогда

(33)

При (33) выполняется равенство, следовательно, экстремаль и граничная кривая имеют общую касательную.

Определение. Вариационная задача на условный экстремум – это такая задача, где нужно найти функцию, реализующую экстремум заданного функционала при заданных граничных условиях и удовлетворяющую некоторым связям.

Связи могут быть следующих типов:

Такие задачи называются изопараметрическими.

Используем метод неопределенных множителей.

Интегрируя по частям каждое второе слагаемое и принимая во внимание, что, получим:

(1)

Т.к. подчиняются условиям, то их приращения не являются независимыми. Применить лемму 1 нельзя.

Здесь - остаточный член разложения в ряд Тейлора.

Получаем, что приращения удовлетворяют уравнениям:

(2)

Т.к. удовлетворяют уравнениям (2), то только приращений являются независимыми. Пусть это приращения.

Умножим (2) на и проинтегрируем.

Сложим получившиеся уравнения.

Введем новую функцию:

Теперь можно записать:

Применить лемму 1 нельзя. Выберем такие, чтобы выполнялись равенства

Теперь можно записать

и применить лемму 1:

Объединим все условия:

(5)

Т.к. подчиняются условиям, то их приращения не являются независимыми. Применить лемму 1 нельзя.

Здесь - остаточный член разложения в ряд Тейлора.

Умножим на и проинтегрируем.

Сложим получившиеся уравнения.

Выберем так, чтобы удовлетворялись уравнений:

(8)

Это система линейных дифференциальных уравнений относительно. Ее решение содержит произвольных постоянных. При таком выборе уравнение (7) имеет вид:

Используем лемму 1.

Введем новую функцию:

Теперь можно записать:

Пример.

Вводим новые функции.

Теперь можно записать:

Получили систему линейных дифференциальных уравнений.

Нужно свести эту задачу к задаче на условный экстремум с дифференциальными связями путем введения новых неизвестных функций.

Введем новую функцию:

Заметим, что

Т.е. все множители Лагранжа есть константы. Этим фактом удобно пользоваться при решении задач.

Пример.

Заданы точки и длина. Найти кривую длины, для которой площадь, заключенная между кривой и осью абсцисс, имеет максимальное значение.

Искомая кривая – это дуга окружности.