Принцип максимума для типичной задачи оптимального управления

Ограничения типа равенств и неравенств

Ограничения типа равенств

Условия трансверсальности

Задача терминального управления с нефиксированными границами

Пусть нефиксировано в задаче

(26)

В этой задаче функция непрерывна, за исключением конечного числа разрывов первого рода. Критерия качества может явно зависеть от длительности процесса:

(27)

Задача оптимизации состоит в поиске среди и допустимых управлений оптимального и оптимального управления, на которых критерий качества достигает оптимального значения:

Пусть, - решение задачи (26-27). Тогда при фиксированном времени управление является решением задачи с фиксированным временем продолжительности процесса:

Поэтому управление удовлетворяет принципу максимума.

Найдем условие, которое определяет оптимальный момент времени. Для этого с оптимальным управлением сравним два процесса управления. Продолжительность первого меньше, а второго – больше продолжительности оптимального управления. Пусть сначала управление

Из системы (3) получим:

Поэтому приращение функционала

Заменим:

Требуется, чтобы

(29)

Рассмотрим еще одно управление.

(30)

Из (29-30): чтобы и доставляли решение задаче (26-27), необходимо, чтобы выполнялось условие

В этих выражениях - оптимальная траектория, которую определяем, решая уравнение (3) при оптимальном управлении.

- это решение уравнения с граничным условием.

При изучении задачи оптимизации с ограничениями на конце допустимых траекторий появляются дополнительные условия оптимальности для концов траекторий, которые называются «условия трансверсальности». Эти условия оформим в виде утверждения.

Пусть система описывается дифференциальными уравнениями и условиями.

На управление наложено ограничение. Кроме того, вектор состояний в момент времени должен удовлетворять

Необходимо выбрать управление, переводящее систему из на многообразие, заданное неравенствами, и доставляющее минимум

Нужно ввести новый функционал:

Теперь применим принцип максимума.

Пусть система описывается дифференциальными уравнениями и условиями,. Кроме того, вектор состояний в момент времени должен удовлетворять

Необходимо выбрать управление, переводящее систему в нужное состояние при соблюдении заданных равенств и неравенств и доставляющее минимум

Нужно ввести новый функционал:

Теперь применим принцип максимума.

Пусть движение объекта описывается дифференциальными уравнениями вида

Преобразуем в задачу Майера. Для этого введем переменную.

Задача превращается в такую:

Это задача терминального управления. Применим принцип максимума.