Критерии для принятия решений

Статистические игры.

Статистические игры образуют специальный класс матричных игр, в которых одним из участников является человек или группа лиц, объединенных общностью цели (игрок А — статистик), а другим — «природа» (игрок П). Под термином «природа» подразумевается весь комплекс внешних условий, при которых статистику приходится прини­мать решение. Природа безразлична к выигрышу и не стремится обратить в свою пользу промахи статистика. Статистик может использовать m стратегий , природа может реализовать n различных состояний . Статистику могут быть известны вероятности , с которыми природа реализует свои состояния . Если статистик имеет возмож­ность численно оценить (величиной ) последствия применения каждой своей чистой стратегии при любом состоянии природы, то игру можно задать платежной матрицей (табл. 4.3). При упрощении платежной матрицы статистической игры имеется своя специфика: отбра­сывать те или иные состояния природы (стратегии игрока П) нельзя, так как она может реализовать любое состояние независимо от того, выгод­но оно статистику или нет.

Таблица 4.3

	…
…	… … … … …	…
	…

При выборе оптимальной стратегии статистика пользуются различ­ными критериями. При этом опираются как на платежную матрицу, так и на матрицу рисков. Риском статистика, когда он пользуется чистой стратегией при состоянии природы , называется разность между максимальным выигрышем , который он мог бы получить, если бы достоверно знал, что природой будет реализовано именно состояние , и тем выигрышем , который он получит, используя стратегию , не зная, какое же состояние природа реализует. Таким образом, эле­менты матрицы рисков (табл. 4.4) определяются по формуле , где — максимально возможный выигрыш статистика при состоянии (максимальный элемент -го столбца платежной матрицы (табл. 4.3), т. е. ).

Таблица 4.4

	…
…	… … … … …	…

Если вероятности состояний природы известны, то пользуются критериями Байеса и Лапласа. В качестве оптимальной по критерию Байеса принимается чистая стратегия , при которой максимизируется средний выигрыш статистика, т.е. обеспечивается

.

Если статистику представляются в равной мере правдоподобными все состояния природы , то и оптимальной по критерию Лапласа считается чистая стратегия , обеспечивающая

.

Если вероятности состояний природы неизвестны, то пользуются критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

Оптимальной по критерию Вальда считается чистая стратегия , при которой наименьший выигрыш статистика будет максимальным, т.е. ему обеспечивается

.

Оптимальной по критерию Сэвиджа считается та чистая стратегия , при которой минимизируется величина максимального риска , т.е. обеспечивается

.

Оптимальной по критерию Гурвица считается чистая стратегия , при которой максимизируется величина , т.е. обеспечивается

,

где принадлежит интервалу (0; 1) и выбирается из субъективных соображений.

Анализ практических ситуаций проводится по нескольким критериям одновременно, что позволяет глубже исследовать суть явления и выбрать наиболее обоснованное решение.

Пример. За некоторый промежуток времени потребление основного вида топлива (мазута) на ТЭЦ в зависимости от качества составляет 18, 20 или 22 весовых единиц. Мазут можно закупить по оптовой цене, равной 7 ден. ед. за весовую единицу мазута. Если для обеспечения заданной температуры теплоносителя объема приобретенного мазута окажется недостаточно, то можно закупить недостающее количество мазута по розничной цене, равной 9 ден. ед. за весовую единицу мазута. Если же запас мазута превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 3 ден. ед. в расчете на единицу веса мазута.

Требуется:

1) придать описанной ситуации игровую схему. Выявить участников игры и установить их характер. Указать допустимые стратегии сторон;

2) вычислить элементы платежной матрицы;

3) дать обоснованные рекомендации об уровне запаса мазута, при котором совокупные затраты на приобретение, содержание и хранение мазута будут минимальными при следующих предположениях:

а) вероятности потребности мазута в количестве 18, 20 и 22 весовых единиц известны и равны 0,2; 0,3 и 0,5. Найти оптимальную чистую стратегию, пользуясь критерием Байеса;

б) вероятности потребности мазута в количествах 18, 20 и 22 весовых единиц одинаковы. Найти оптимальную чистую стратегию, пользуясь критерием Лапласа;

в) о вероятностях потребления мазута в количествах 18, 20 и 22 весовых единиц ничего определенного сказать нельзя. Найти оптимальные чистые стратегии, пользуясь критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (параметра ).