Амплитудно-частотная характеристика

Амплитудно-частотная характеристика Фазово-частотная характеристика

получается окружность

меньшего радиуса

, т.е.

Т.к. есть рассеивание, то нет корней с положительной вещественной частью, корни не дополняем.

Не должно быть перемещений при A>0.

Для устойчивости не должно быть пересечений осейтам где , иначе неустойчива (по критерию Найквиста).

По каждому му тону получим, добавив АС

(первоочередными являются фазовые соотношения, т.к. амплитуда там максимальна)

Если , то

если A>1фазово-частотная характеристика пересекает ноль, а значит, система неустойчива.

Диаграмма устойчивости объекта учитывает упругие колебания

С помощью диаграммы, определим место положения гироскопов.

Лекция №4 (22.09.06.)

Задача 1. Есть АС, известны , . Известны формы упругих колебаний и место

установки приборного отсека , .

Определить устойчивость упругих колебаний.

Пусть

Построим производные

Задача 2. Выбрать место постановки гироскопа.

Дано:

Найти:

Пусть

Задача 3. Формулировка требований к АС, где располагаются для устойчивости полета, т.е. подобрать параметры АС, если заданы все параметры:

Определить

Пусть ; . Гироскоп расположен в передней части ракеты

Можно сделать выводы:

-фазовая стабилизация.

Стабилизацию упругих колебаний за счет изменения ФЧХ АС называют фазовой стабилизацией.

Задача 4. Есть надо подобрать компоновку ракеты, т.е. определить

Задача 5. Выбор местоположения рулевого органа.

Есть

Определить

Пусть надо обеспечить стабилизацию по 3-м тонам (обычно по 3-м).

Ставим АС

Если не удаётся стабилизировать все тона, то фазовостабилизируют только низшие тона, а для других используют амплитудную стабилизацию, (уменьшают радиус кольца).

Методы амплитудной стабилизации:

1. Пассивный - не воздействуя на сам объект, гасят колебания.

1) Испытание постановкой фильтров, которые не пропускают сигналы на высших тонах, ()

2) Использование датчиков угловых скоростей (ДУС) (лучше устанавливать в пучностях колебаний)

2. Активный - установка дополнительных устройств (т.е. переход к новой динамической системе), которые должны обеспечивать обратную связь и возбуждать колебания в противофазе возникшим упругим колебаниям (установка микродвигателей).

Могут возникнуть автоколебания нарушение устойчивости как твердого тела.

Метод начальных параметров

Рассмотрим модельную задачу.

(1)

Граничные условия

Условие стыковки

Решаем спектральную задачу.

Пусть (2)

Тогда (1) с учетом (2) будет

, где

Пусть

Из граничных условий

Из условий стыковки

Лекция №5. (29.09.06)

Основные соотношения и уравнения гидромеханики.

1. Теорема Коши-Гельмгольца:

, где

2. Уравнение неразрывности:

Примечание: большинство топлив – несжимаемые жидкости.

Для несжимаемых жидкостей:

- однородная жидкость

Для криогенных жидкостей:

- неоднородная жидкость

Для сжимаемых неоднородных жидкостей:

3. Уравнение движения:

Уравнение Эйлера (идеальная жидкость):

Уравнение Новье-Стокса: для вязкой жидкости:

Уравнение сплошной среды:

Примечание: для идеальной жидкости . В дальнейшем, будем считать жидкость идеальной.

Тогда уравнение Эйлера:

Если движение жидкости происходит в эллипсоидальном теле, то его движение подобно движению твердого тела относительно центра масс (вокруг неподвижной точки).

Примем

Что аналогично движению относительно неподвижной , не совпадающей с центром масс:

Т.е. можно использовать известные классические решения механики твердого тела.

Развернутое уравнение Эйлера:

Допущения:

1) Баротропная жидкость: - функция давления

Можно считать, что перегрузка не зависит от х.

2)

3) Безвихревое движение (во всем объеме): (на поверхностях, близких к границам, т.е. поверхностям бака)

Интеграл Коши-Лагранжа:

- интеграл Коши-Лагранжа

На свободной поверхности Г считаем:

, т.е исключаем процессы газового переноса - на Г

- на Г - динамическое условие

Ф(х,t)=0 – уравнение свободной поверхности Г:

Или так как х – эйлерова координата:

Решение уравнения с точностью до константы:

но он произволен

- кинематическое условие

- условие неразрывности, - уравнение Лапласа

или

+Начальные условия:

Постановка задачи:

Линеаризация задачи:

Отклонения жидкости малы, следовательно значениями квадратов их производных можно пренебречь:

Для Г₀: - уравнение свободной поверхности

Возмущения относятся к поверхности Г_0:

- линеаризованная постановка задачи

Пусть

- спектральная задача

Пример:

Получаем:

или

^{чётн. нечетн.}

n=1 n=2

Решим эволюционную задачу:

Введем поле смещений:

Обозначим потенциал смещения так, что в линеаризованной задаче

Переформулируем через потенциал смещений:

н.у.

t=0 (a) (б)

Найдем потенциал смещений виде:

Так как

Разложим х₁ в ряд по sin

Допустим, что бак не подвиженопределим силу, воздействующую на боковую поверхность бака.

Лекция №6 (06.10.06):

Определим силу, воздействующую на боковую поверхность бака:

- главный вектор гидродинамических сил

, где , - проекции на ось

где

Так как

где - приведенная масса колеблющейся жидкости

При

Волновое движение жидкости в круговом цилиндрическом баке:

Пусть:

Рассмотрим спектральную задачу:

Условие периодичности:

Тогда представим:

Можно положить В=0 (всплески в центре не рассматриваем)

Условия непротекания:

Тогда получим трансцендентное уравнение:

Тогда добавим индексы:

Решение:

Задача – аналогична

Начальное отклонение: разложим в ряд

- ряд Фурье-Бесселя

Решение – аналогично (в случае кругового цилиндра):

- приведенная масса (цилиндрический бак)

(точное значение )

Формулировка задачи для потенциала скоростей и потенциала смещений в случае подвижной полости.

Уравнение поверхности:

1)

- потенциал абсолютной скорости

- давление газа

Тогда на Г:

на Г – динамическое граничное условие

Формулировка задачи:

на S

Тогда

Окончательно:

Лекция №7 (13.10.06):

Линеаризация задачи:

Движение жидкости и тела малые.

Тогда относительно неподвижной системы Oy₁y₂y₃ поворот на углы - поворот вокруг оси y_1, y_2, y₃.

Тогда (в проекциях на Oх₁х₂х₃)углы малы.

Тогда

- формула Бура

Введем вектор малых смещений:

Примечание: и - малые величины

Введем потенциал смещений:

Если задать: (избавляемся от u₀)

Зададим поступательное движение бака.

+ начальные условия

Пусть:

См. только вынужденные (уст-ся)

Всё решение запишется в виде:

Сила, действующая на стенки баков:

Движение бака с жидкостью:

Задано

В полярных координатах:

Пусть

Вращательное движение бака.

К поступательному движению:

или

Тогда

Лекция №8 (20.10.06)

Постановка эволюционной задачи:

На S (1)

- условие свободной поверхности на Го (*)

Из (1) распишем:

= (т.к. только , то берем первые проекции)=

на ; на и

Запишем задачу в системе координат не связанной с поверхностью

Конкретная постановка задачи

Условие на боковой поверхности:

(2)

Условие на дне:

(3)

Условие на свободной поверхности:

на , (4)

+начальные условия

Решения будем искать в виде

(5)

-от вращения, удовлетворяет равенствам с (если нет, то нет вращения)

-обусловлено собственным колебанием жидкости (в

неподвижном баке со свободной поверхностью)

Потенциал был определен в прошлых лекциях и имеет вид:

единичный потенциал, даёт описание вращения тела вокруг оси с единичной

Скоростью

Для идеальной жидкости при линейной задаче действует принцип суперпозиции

Пример краевой задачи с неоднородными граничными условиями

Подставляем в (2), получаем

,

Подставляем в (3), получаем

;

Подставляем в(4), получаем

-считаем, что бак закрыт твердой крышкой

Найдем потенциал

Пусть - описывает переносное движение

Задача для

; (6)

;

(7)

Разделяя переменные в (6), получим 3 уравнения

- отвечает ,

;-отвечает

Нам удовлетворяет только ,тогда структура потенциала:

(8)

Подставляем в (7), получим

Разложим в ряд по функции

, где см. прошлую лекцию

Положим, что тогда

Решение для X будут гиперболические функции

;

Найдем константы и

Т.к.

То

Тогда

И примет вид:

А потенциал будет:

;

Найденный потенциал должен удовлетворять условию на свободной поверхности. Подставим выражение дляв уравнение со (*). Получим уравнение для обобщенной координаты.

Разложим

Тогда

Выберем так, чтобы осталось с коэффициентом 1:

Тогда

Где -обобщенная координата волнового движения жидкости.

-обычно задано
-приведенная длина.

Найдем гидродинамическую силу:

Гидродинамический момент относительно точки С:

Найдем из интеграла Коши – Лагранжа:

Распишем гидродинамическую силу:

Тогда

Где

Напомним, имеет вид:

А потенциал имел вид:

В данном случае

Обозначим интегралы:

Вычислим эти интегралы:

-свободный член в

Лекция№9 (27.10.06)

Тогда

Где -приведенная масса колеблющейся жидкости.

Определим моменты:

Гидродинамический момент относительно точки С

Вращение происходит только относительно оси , тогда

Пусть где - момент относительно оси

Т.к.,то

Т.к.

Т.к.

Где

Из математики известно:

Тогда из (9) получим:

можно заменить на сумму

где-эквивалентный момент инерции

-момент инерции затвердевшей жидкости

- приведенный момент инерции

Проверки:

C совпадает с центром масс жидкости; свободной поверхности нет, тогда

- по Жуковскому

Полученное уравнение позволяет получать уравнение движения бака:

-момент внешних сил, действующих на бак.

Если тело полностью заполнено жидкостью, то по Жуковскому (вокруг ц.м.):

Теорема Жуковского «О движении твердого тела с полостями, полностью заполненными однородной несжимаемой, капельной жидкостью»

Твердое тело, имеющее полость, целиком заполненную однородной капельной жидкостью, движется как преобразованное твердое тело, масса которого равна сумме , а моменты инерции равны сумме (эквивалентного тела).

Для анализа гидродинамики используем модель – механическая модель.

Рассмотрим (составим) уравнение поступательного движения бака с жидкостью с предположением механической модели.

(I)

Механическая модель:

Дано: , масса телеги- ,

Число маятников

Составим уравнения движения системы:

- уравнение количества движения,

Где - все силы

, причем надо писать для абсолютных скоростей.

Тогда , где (1)

-абсолютная скорость

Уравнение для обобщенной координаты :

Ведем Даламберову силу:

Из (1):

,

Степеней свободы N+1

-не учитываем

Тогда

Т.к. колебания малые, то введем линейную координату (обобщенную координату отклонения маятника):

Тогда (II)

Сравним с (I)

Если , число ступеней

То (I) и (II) аналогичны.

Лекция №10 (10.10.06)

Механическая модель вращательного движения

Дано: известен момент инерции стержня-

Масса стержня-

Число маятников-

Центр масс стержня-

Масса маятника-

Решение:

Составим уравнение движения:

(1)

Где

где -кинетический момент стержня;

- кинетический момент маятника;

Или

С другой стороны

Тогда уравнение (1) примет вид:

Примем

Или при малых колебаниях,

Тогда для стержня с маятником: (2)

Тогда для бака:

(3)

Составим уравнения для маятников:

Теорема изменения кинетического момента в относительном движении:

(4) где

- сила инерции – Даламберова сила:

Тогда уравнение (4) примет вид:

И окончательно:

(5)

Пусть , тогда уравнение (5) будет:

-для маятника (6)

-для бака (7)

Сравнивая, получим из (2) и (3):

А из (6) и (7), получим:

Уравнения плоского движения

Предположения:1) твердая крышка,

2) поправка к уравнению: постоянная силапроекция от инерции вращения и наоборот

Дифференциальные уравнения плоского движения бака с жидкостью и стержня с маятником.

(6) и (7) неизменны, только добавляется ускорение от движения бака:

-для системы маятник-стержень

-для бака

Уравнение поступательного движения бака:

Уравнение поступательного движения стержня:

Уравнение плоского движения стержневой конструкции

Для бака с жидкостью:

Уравнения для бака с жидкостью:

В дальнейшем предположим, что вращение вокруг центра масс системы:

1) бак + жидкость

2) для маятникового аналога:

(система эквивалентна);

Тогда система уравнений упрощается и имеет вид:

для бака:

для стрежня:

Отклонение свободной поверхности при вращательном движении

Окончательно получим:

;

Где

Обозначим: - смещение свободной поверхности.

Тогда ,

т.к. , то

,где

Пусть и

Тогда в связанной системе координат:

Если жидкость глубокая, то

И тогда

Лекция №11 (13.11.2006)

Уравнения колебаний свободной поверхности жидкости в обобщенных координатах для случая произвольно перемещающегося подвижного сосуда.

Тело совершает малые движения.

Тогда граничное условие для потенциала :

Подставим уравнение для в уравнение для свободной поверхности.

Считается, что - решения для неподвижного сосуда – известны.

на Г₀

определяется из решения краевой задачи:

В «безразмерном» виде:

и их производные по нормали образуют базис домножим на :

Формула Грина:

Для замыкания поверхности мысленно прибавляем поверхность, заполненную жидкостью, но на дополнительной поверхности =0.

Берем условия для жесткой крышки:

Для того, чтобы коэффициент уравнения для координации имели физический смысл домножим условия на свободной поверхности на плотность жидкости.

Введем обозначения: