Потенциал электрического поля. Циркуляция вектора напряжености поля

Рис.3

Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей.

Поток вектора через поверхность. Теорема Гаусса.

Для начала посчитаем поток напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом, через сферическую поверхность с центром в месте расположения заряда. Это помимо прочего покажет нам, что в некоторых случаях интеграл по замкнутой поверхности посчитать не так уж и сложно. Итак:

1. Напряженность электрического поля создаваемая почечным зарядом, который мы поместим в начало координат равна

(18)

2. И нужно вычислить интеграл:

,

(19)

где — сфера радиуса с центром в начале координат.

Для вычисления интеграла очень важно выбрать форму элементарных площадок, на которые мы разобьем нашу исходную сферу. Т.е. другими словами, какую систему координат мы выберем. Из симметрии нашей задачи, очевидно, что в нашем случае подходит сферическая система координат. Вам известно, что в этой системе координат положение почки задается расстоянием до начала координат, полярным углом и азимутальным углом. При этом все точки нашей сферы находятся на расстоянии, площадь элементарной поверхности равна. Учитывая, что нормаль к площадке равна, запишем интересующий нас интеграл в виде:

,

(20)

Получился интересный ответ, из которого видно, что интеграл не зависит от радиуса сферы, а зависит только от величины заряда, который внутри этой сферы находится. Больше того, можно доказать (мы этого делать не будем, хотя это и не сложно), что величина интеграла те зависит от формы поверхности. Таким образом, для любой замкнутой поверхности, внутри которой находится заряд, поток вектора напряженности электрического поля не зависит от положения заряда внутри этой поверхности и равен:

,

(21)

Ну а если зарядов внутри поверхности несколько? Ответ очевиден. Согласно принципу суперпозиции напряженность поля от этих зарядов равна сумме напряженности создаваемой каждым зарядом (см. (9)) и интеграл равен:

,

(19)

Таким образом, мы получили, что интеграл по замкнутой поверхности от напряженности электрического поля равен заряду, который содержится в внутри поверхности, делённому на электрическую постоянную. Это очень важное уравнение для электростатического поля. Называется это соотношение теоремой Гаусса.

4)

(20)

Поле бесконечной заряженной плоскости (см. Рис.3). Поверхностная плотность заряда (заряд, приходящийся на единицу площади) дана.

Из симметрии задачи следует, что вектор напряженности электрического поля направлен перпендикулярно плоскости и зависит только от расстояния до плоскости. Мысленно выделим цилиндрический объем с площадью основания и высотой, основания на расстоянии в каждую сторону от поверхности. На рисунке показан цилиндр, направления нормалей к основаниям и боковой поверхности и выбранное нами направление вектора напряженности. В таком случае заряд, который попадает внутрь цилиндра, равен, а интеграл по боковой поверхности равен нулю из-за того, что нормаль и вектор напряженности перпендикулярны (). В таком случае остаются только интегралы по двум основаниям на которых вектор напряженности постоянен и направлен вдоль нормали. В этом случае теорема Гаусса записывается в виде:

,

(21)

Отсюда получаем:

,

(22)

Таким образом, поле заряженной плоскости не зависит от расстояния до плоскости и направлено от плоскости, если она заряжена положительно и к плоскости, если она заряжена отрицательно. Для дополнительной уверенности в ответе проверим размерность полученного ответа (никогда не помешает), имея ввиду по определению, что

,

(23)

Сравнивая с (10) делаем вывод, что с точки зрения размерности с ответом все в порядке.

5) Поле бесконечной заряженной нити (см. Рис.4) с линейной плотностью Линейная плотность — это заряд единицы длины нити и, значит размерность

Рис.4

Для вычисления напряженности поля построим (мысленно) цилиндр радиуса

и длины по центру которого проходит наша нить. Заряд, попавший внутрь цилиндра равен. Из рисунка видно, что вклад в интеграл дает только боковая поверхность. Поэтому, применяя теорему Гаусса, получаем:

,

что дает:

,

При изучении курса механики было показано, что центральные силы (силы которые зависят только от расстояния между частицами) являются потенциальными. Остановимся на вычислении потенциальной энергии взаимодействия двух зарядов. Рассмотрим перемещение частиц с зарядами и из положения (1) (с радиус-векторами) в положение (2). Считаем, что частицы перемещаются медленно, так что скорости их практически равны нулю и работа совершается за счет потенциальной энергии взаимодействия этих частиц. В курсе механики, когда мы рассматривали энергию системы взаимодействующих частиц, было показано, что при перемещении двух зарядов из положения (1) в положение (2) работа, совершаемая Кулоновскими силами равна:

(29)

Эта работа совершается за счет убыли потенциальной энергии, (выше мы отмечали, что частицы имеют нулевую скорость). Это значит, что произведенная работа равна убыли потенциальной энергии:

(30)

Отсюда следует, что энергия взаимодействия двух зарядов равна:

(31)

Мы будем выбирать. Остановимся на ситуации, когда пробный (не искажающий поле) заряд находится в поле системы точечных зарядов: Поскольку согласно принципу суперпозиции все точечные заряды действуют на пробный заряд независимо, то потенциальная энергия просто равна сумме потенциальных энергий:

(32)

Из этого выражения видно, что если пробный заряд не изменяет расположение зарядов создающих поле, то его энергия пропорциональна величине заряда. А энергия, численно равная энергии, которую имеет заряд, называется потенциалом электрического поля и обозначается (см. (32)). Размерность потенциала имеет свое название, которое вы много раз встречали в жизни, это Вольт (В) и дается следующим выражением через основные величины в системе СИ:

,

(33)

Найдем связь между напряженностью и потенциалом поля. При изучении механики было показано, что сила равна минус градиенту от потенциальной энергии. Напишем это соотношение с учетом связи напряженности и потенциала с силой и энергией в электрическом поле:

(34)

Отсюда следует, что напряженность поля связана с потенциалом так же, как сила с потенциальной энергией:

(35) 7) 7)Потенциал 8)Понтенциал бесконечно зарженной плоскости. Связь потенциала и напряженности. Эквипотенциальные поля.

И еще одно определение: «Поверхности, на которых потенциал остается постоянным:

,

(36)

называются эквипотенциальными». Вектор напряженности перпендикулярен к эквипотенциальным поверхностям. Рассмотрим эквипотенциальные поверхности некоторых заряженных систем, поле которых известно.

1. Потенциал бесконечной заряженной поверхности. Плотность поверхностного заряда данаиобозначим её. Выберем начало координат в какой-то точке на поверхности, Ось Z направим перпендикулярно поверхности. В этом случае плоскость (X,Y) совпадает заряженной поверхностью. Используя теорему Гаусса мы нашли, что в этом случае вектор напряженности электрического поля равен:

,

(37)

Работа электростатических сил по перемещению заряда из точки (1) в точку (2) равна убыли потенциальной энергии:

,

(38)

Что дает следующую интегральную связь между разностью потенциалов и напряженностью электрического поля:

(39)

Чтобы найти потенциал поля в данной точке, необходимо выбрать какую-то точку за начальную, и вычислять интеграл (39) всегда стартуя с этой точки (фактически это означает выбор константы в определении потенциальной энергии). В данном случае такую точку можно выбрать в начале координат. В таком случае потенциал в точке с радиус вектором равен:

,

(40)

и эквипотенциальными поверхностями являются плоскости