Применение комплексных чисел при решении алгебраических уравнений второй степени

Пусть дано уравнение

, (8.6)

где с – действительное число. Требуется решить его в комплексных числах, т.е. найти все комплексные числа , которые удовлетворяют уравнению (8.6).

Допустим, что существует комплексное число (и – действительные числа), удовлетворяющее уравнению (8.6). Подставим его в (8.6) и произведем соответствующие преобразования

, .

Так как с–действительное число, то

. (8.7)

Из второго равенства следует, что по крайней мере одно из чисел , равно нулю.

Пусть с = 0, тогда и , т.е. .

Пусть с > 0. Так как из второго уравнения (8.7) следует, что одно
из чисел , равно нулю, то из первого следует, что , и мы получим уравнение , где надо искать действительные числа . Это уравнение имеет два решения (корня): и ,
где – арифметическое значение квадратного корня из с. Мы получили .

Если теперь с < 0, то значит , а , и тогда или , откуда и, следовательно, .

Таким образом, если с > 0, то уравнение (8.6) имеет два действительных решения и комплексных решений не имеет;
если с < 0, то уравнение (8.6) имеет два чисто мнимых решения ; при с = 0 имеется только одно решение: х = 0.

Любое комплексное число х, удовлетворяющее уравнению (8.6), называют корнем квадратным из числа с и обозначают символом .

Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде

, (8.8)

где –заданные действительные числа.

Будем искать комплексные решения этого уравнения. Пусть комплексное число является решением уравнения (8.8). Тогда

, .

где слева стоит любое комплексное число, квадрат которого
равен .

Отсюда получаем формулы для нахождения решений квадратного уравнения

при

при .

Итак, квадратное уравнение (8.8) в случае, когда , имеет два действительных решения, а в случае, когда , – два комплексно-сопряженных решения. В случае же оно имеет одно решение, равное ; считают, что и в этом случае решений два, но они совпадают, и называют решение (корень) уравнения (8.8) кратным.