Пусть дано уравнение
, (8.6)
где с – действительное число. Требуется решить его в комплексных числах, т.е. найти все комплексные числа , которые удовлетворяют уравнению (8.6).
Допустим, что существует комплексное число (
и
– действительные числа), удовлетворяющее уравнению (8.6). Подставим его в (8.6) и произведем соответствующие преобразования
,
.
Так как с–действительное число, то
. (8.7)
Из второго равенства следует, что по крайней мере одно из чисел ,
равно нулю.
Пусть с = 0, тогда и
, т.е.
.
Пусть с > 0. Так как из второго уравнения (8.7) следует, что одно
из чисел ,
равно нулю, то из первого следует, что
, и мы получим уравнение
, где надо искать действительные числа
. Это уравнение имеет два решения (корня):
и
,
где – арифметическое значение квадратного корня из с. Мы получили
.
Если теперь с < 0, то значит , а
, и тогда
или
, откуда
и, следовательно,
.
Таким образом, если с > 0, то уравнение (8.6) имеет два действительных решения и комплексных решений не имеет;
если с < 0, то уравнение (8.6) имеет два чисто мнимых решения ; при с = 0 имеется только одно решение: х = 0.
Любое комплексное число х, удовлетворяющее уравнению (8.6), называют корнем квадратным из числа с и обозначают символом .
Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде
, (8.8)
где –заданные действительные числа.
Будем искать комплексные решения этого уравнения. Пусть комплексное число является решением уравнения (8.8). Тогда
,
.
,
где слева стоит любое комплексное число, квадрат которого
равен .
Отсюда получаем формулы для нахождения решений квадратного уравнения
при
при
.
Итак, квадратное уравнение (8.8) в случае, когда , имеет два действительных решения, а в случае, когда
, – два комплексно-сопряженных решения. В случае же
оно имеет одно решение, равное
; считают, что и в этом случае решений два, но они совпадают, и называют решение (корень) уравнения (8.8) кратным.
Пример. Решить уравнение .
○ .
Так как , то уравнение имеет два комплексно-сопряженных решения:
. ●