318Пусть дано уравнение
, (8.6)
где с – действительное число. Требуется решить его в комплексных числах, т.е. найти все комплексные числа 
, которые удовлетворяют уравнению (8.6).
Допустим, что существует комплексное число (
и 
– действительные числа), удовлетворяющее уравнению (8.6). Подставим его в (8.6) и произведем соответствующие преобразования
, 
.
Так как с–действительное число, то
. (8.7)
Из второго равенства следует, что по крайней мере одно из чисел 
, 
равно нулю.
Пусть с = 0, тогда 
и 
, т.е. 
.
Пусть с > 0. Так как из второго уравнения (8.7) следует, что одно
из чисел , равно нулю, то из первого следует, что 
, и мы получим уравнение 
, где надо искать действительные числа . Это уравнение имеет два решения (корня): 
и 
,
где 
– арифметическое значение квадратного корня из с. Мы получили 
.
Если теперь с < 0, то значит 
, а 
, и тогда 
или 
, откуда 
и, следовательно, 
.
Таким образом, если с > 0, то уравнение (8.6) имеет два действительных решения 
и комплексных решений не имеет;
если с < 0, то уравнение (8.6) имеет два чисто мнимых решения 
; при с = 0 имеется только одно решение: х = 0.
Любое комплексное число х, удовлетворяющее уравнению (8.6), называют корнем квадратным из числа с и обозначают символом .
Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде
, (8.8)
где 
–заданные действительные числа.
Будем искать комплексные решения этого уравнения. Пусть комплексное число 
является решением уравнения (8.8). Тогда
, 
.
,
где слева стоит любое комплексное число, квадрат которого
равен 
.
Отсюда получаем формулы для нахождения решений квадратного уравнения
при 
при 
.
Итак, квадратное уравнение (8.8) в случае, когда 
, имеет два действительных решения, а в случае, когда , – два комплексно-сопряженных решения. В случае же 
оно имеет одно решение, равное 
; считают, что и в этом случае решений два, но они совпадают, и называют решение (корень) уравнения (8.8) кратным.
Пример. Решить уравнение 
.
○ 
.
Так как , то уравнение имеет два комплексно-сопряженных решения: 
. ●
