Фінанси бюджетних установ

.

.

Пренебрегая погрешностью, за счёт отбрасывания части времени обслуживания заявки на конце интервала, можно считать, что суммарное время нахождения всех заявок в системе будет равно:

, где i –все заявки, находящиеся в системе за время T, t_i –время пребывания i- й заявки в системе.

С другой стороны, суммарное время нахождения всех заявок в системе равно, где t_сист = есть среднее время между двумя соседними заявками, поступившими в систему.

Подставим значение интеграла в выражение для m_сист.Умножив и разделив правую часть полученного выражения на λ получим

.

Здесь λ есть среднее число требований, вошедших в систему за единицу времени. Обозначим его в дальнейшем как λ_сист. Тогда в еличина λ_сист*T есть среднее число заявок, поступивших (вошедших) в систему за время T, а есть среднее время пребывания одной заявки в системе.

Подставив t_сист в выражение для m_сист получим

.

Откуда следует, что среднее время пребывания заявки в системе равно

– Формула Литтла.

Формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе t_сист равно среднему числу заявок в системе m_сист, деленному на интенсивность потока заявок, поступивших в систему λ_сист.

Аналогично можно получить формулу Литтла для следующих величин:

Среднее время пребывания заявки в очереди:

=.

Среднее время пребывания заявки в канале обслуживания:

=,

Т.к. среднее время пребывания требования в канале равно 1/ отсюда, с помощью формулы Литтла можно легко получить выражение для среднего числа занятых каналов:

= = отсюда.

Следует отметить, что во всех случаях характеризует интенсивность требований, поступивших в систему, в не вообще входной поток заявок.

Если часть требований из потока заявок на входе теряется (например, в системах с отказами), то необходимо скорректировать значение интенсивности требований, подошедших к системе,приняв вместо него интенсивность требований, вошедших в систему, т.е, где - вероятность, что требование поступит в систему (не получит отказ).С учетом сказанного выражение для среднего числа занятых каналов примет вид

(1-P_отк).

СМО БЕЗ ОЖИДАНИЯ.УРАВНЕНИЯ ЭРЛАНГА.

Рассмотрим следующую задачу. Имеется СМО с n каналами обслуживания. На вход системы поступает поток требований(заявок).В случае наличия свободного канала заявка поступает в систему на обслуживание. Если в момент поступления заявки все каналы заняты, то она получает отказ, покидает систему не обслуженной и в дальнейшем обслуживании не участвует. Системы(с отказами) подобного рода называются СМО без ожидания.

Пусть входной поток заявок - простейший с интенсивностью - требований в единицу времени.

Время обслуживания заявки T подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром.В этом случае параметр можно рассматривать как интенсивность потока обслуживания занятого канала (если он бесперебойно обеспечивается заявками на обслуживание), являющегося простейшим потоком. По классификации Кендалла её можно обозначить как M/M/n с длиной очереди равной нулю.

Составим граф состояний для данной системы.

2*k*(k+1)*n*

Здесь состояние (k =) соответствует числу заявок, находящихся в системе на обслуживании и равно числу занятых каналов.

Переход системы из состояния в состояние происходит при поступлении очередной заявки с интенсивностью =, а из состояния в состояние - при обслуживании любой из заявок в одном из k каналов системы с интенсивностью.

Так как оба потока - входной и обслуживание – простейшие, то система является марковской, а процессы, в ней протекающие могут быть описаны как процессы размножения и гибели с помощью уравнений Колмогорова-Чепмена.

Задав начальные условия и решив данную систему дифференциальных уравнений можно найти все - вероятность того,что в момент времени t в системе находится k требований (занято k каналов обслуживания).

Значения финальных вероятностей найдем, приравняв = 0 и решив, соответственно, систему алгебраических уравнений.

Используя найденные ранее выражения для финальных вероятностей – получим:

Обозначим приведённая плотность потока заявок.Её можно рассматривать как среднее число требований, приходящихся на среднее время обслуживания одного требования.Тогда

И вероятности состояний, соответственно

Дифференциальные уравнения, описывающие поведение системы без ожидания называются уравнениями Эрланга, а выражения для финальных вероятностей- формулами Эрланга- в честь основателя ТМО-датского учёного Эрланга, чьи исследования телефонных линий в начале 20-го века, заложили основы современной Теории Массового Обслуживания.

Зная значения финальных вероятностей можно найти основные характеристики работы СМО в стационарном режиме.

1) Вероятность того, что пришедшее требование получит отказ

2) Вероятность того, что пришедшее требование будет обслужено

P_обс=1-Р_отк=1-Р_n=1 -

3) Абсолютная (фактическая) пропускная способность системы (среднее число требований, обслуженных за единицу времени)

4) Максимальная пропускная способность системы (максимальноесреднее число требований, которое может обслужить система за единицу времени, если все каналы будут постоянно заняты)

A_max=n*µ.

5) Среднее число занятых каналов

m_кан =

Так как каждый канал в единицу времени из А заявок, обнаруженных системой обслуживает ровно µ, то среднее число занятых каналов может быть найдено как

m_кан=

6) Интенсивность потока отказов

7) Интенсивность потока обслуженных заявок

µ_обс = µ* m_кан= µ* *P_обс= λ*P_обс

Как мы знаем, для рассматриваемой СМО, среднеевремя нахождения заявки в системе равно среднемувременинахождения заявки в канале обслуживания (очередь отсутствует).t_сист=.

Аналогично его значение можно получить и по формуле Литтла: t_сист=m_сист* m_сист

СМО С ОЖИДАНИЕМ.

Рассмотрим теперь другую задачу. Имеется СМО с n каналами обслуживания. На вход системы поступает поток требований (заявок). В случае наличия свободного канала заявка поступает на обслуживание. Если в момент поступления заявки все каналы заняты, то заявка становится в очередь, ожидая пока освободится какой либо канал.

Такие системы называются системами с ожиданием. При этом время ожидания в очереди может быть как неограниченным («чистые системы с ожиданием»), так и ограниченным. Кроме того длина очереди может быть как неограничена, так и ограничена. В случае заполнения всей очереди, пришедшие требования также получают отказ и не обслуживаются.

СМО с неограниченной очередью

Рассмотрим СМО с неограниченной очередью (m=∞) и неограниченным временем ожидания в очереди. Поток требований на входе системы- простейший с интенсивностью λ. Продолжительность обслуживания требования подчинена экспоненциальному закону распределения со средним временем обслуживания. Тогда система может рассматриваться как марковская, вида M/M/n. Изменение вероятностей состояния во времени может быть записано с помощью уравнений, размножения и гибели.

В этой системе при k<n интенсивность процесса «размножения» (переход от состояния S_k-1 к состоянию S_k)всегда равна λ, а интенсивность процесса «гибели» (переход от состояния S_k+1 к состоянию S_k) равна (k+1)*µ.

При k≥n интенсивность процесса «размножения» остается равной λ, а интенсивность процесса «гибели» всегда равна n*µ и не зависит от числа требований в системе.

Приравнивая все для стационарного режима получим выражения для финальных вероятностей.

Вероятность Р_о ищется из нормирующего условия и равна

Условием существования стационарного режима и, соответственно, ненулевых является сходимость бесконечного ряда в выражении для. Для этого необходимо, чтобы интенсивность процесса "размножения", начиная с K=n, была бы меньше, чем интенсивность процесса гибели, т.е., или, иначе, ρ<n.

Если это условие не выполняется, то режима статического равновесия в СМО не существует, что приводит к неограниченному увеличению очереди. Это условие необходимо обязательно учитывать при проектировании реальных СМО.

Если условие ρ/n<1 выполняется, то, используя выражение для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии, получим для

Отсюда

Найдем теперь основные характеристики СМО в стационарном режиме:

1) Так как очередь не ограничена и все требования, поступающие в систему будутобслужены, то.

2) П_n – вероятность того, что все каналы обслуживания будут заняты

или черезP₀

3) Среднее число занятых каналов

m_кан =

Т.к. все требования, поступающие в систему обслуживаются, то абсолютная пропускная способность системы A=λ(число требований обслуживаемых в системе в единицу времени). Отсюда среднее число занятых каналов можно найти как

m_кан =.

Т.е. в стационарном режиме, при условии, что ρ<n среднее число занятых каналов m_кан всегда равно ρ и не зависит от n.

4) Средняя длина очереди.

При (ρ<n) ряд сходится и равен

Отсюда средняя длина очереди будет равна

5) Среднее число требований, находящихся в системе будет равно

Это можно показать, разбив Σ на 2 части: k<nи k ≥ nи представив во 2-й части k=n+(k-n).

6) Используя формулу Литтла можно найти среднее время нахождения требования в очереди и в системе.

Отсюда

СМО с ограниченной длиной очереди

Рассмотрим n- канальную СМО с очередью, максимальная длина которой равна m. Время ожидания в очереди – не ограниченно.

Поток требований на входе в систему простейший с интенсивностью. Поток обслуживания также простейший с интенсивностью. В этом случае система будет марковской вида M/M/n/m и изменения вероятностей состояния могут быть описано с помощью уравнений размножения и гибели вида

Т.к. число состояний СМО конечно, то в ней существует стационарный режим, и выражения для финальных вероятностей могут быть записаны в следующем виде:

=, 1≤k≤n

=*, n≤k≤n+m,

где, найденная из нормирующего условия =1,будет равна

Учитывая, что вторая сумма, как сумма членов геометрической прогрессии равна

,получимокончательно

Основные характеристики СМО в стационарном режиме будут:

1) Вероятность того, что пришедшее требование получитотказ

*

2) Вероятность того, что пришедшее требованиебудет обслужено.

*

3) Абсолютная пропускная способность системы (среднее число требований, обслуженной за единицу времени)

A=*

4 ) Вероятность того, чтовсеканалы обслуживания заняты.

=

5) Среднее число занятых каналов.

= m_кан

Или, иначе, через абсолютную пропускную способность системы:

= m_кан

6) Средняя длина очереди.

7) Среднее число требований в системе можно найти как

8) Среднее время нахождения требованияв очереди

**

9)Общее время нахождения требования в системе будет

Полученные выражения носят общий характер. Положив в них m=0 получим значения и характеристики СМО для систем без ожидания. Положив m=∞, получим выражения для СМО с неограниченным числом мест в очереди.

Пример. Ателье обслуживает жителей 2-х микрорайонов. Интенсивности заявок с обоих микрорайонов равна чел/час. Среднее время выполнения заявки составляет 20 мин. Число работников в ателье (n) – 2 человека. Определить основные характеристики работы ателье, если:

1)Очереди невозможны(m=0).

2)Очереди не ограничены (м=∞).

3) Как изменится эффективность работы, если каждый из работников будет обслуживать клиентов только одного района.

1) Рассмотрим случай, когда очередь отсутствует (m=0)

а) Каждый работник обслуживает жителей любого района. Тогда:

n=2;=4; µ=;;

;;

* =; * =;

= =; =0,724;

A= * =4* =2,9;;

б) Каждый работник обслуживает жителей только одного района. Тогда:

n=1;=2; µ=3;;

*

,

A= * =2*3/5=1,2;

Как видим, во втором случае снижается вероятность обслуживания каждого клиента (с 0,724 до 0,6) и общее число обслуживаемых клиентовА=2*1,2=2,4 (меньше чем2,9). Загрузка мастеров так же падает

(меньше чем 0,96).

2) Рассмотрим случай, когда очередь не ограничена (m=∞)

а) Каждый работник обслуживает жителей любого района. Тогда:

n=2;=4; µ=3;;

< 1 (стационарный режим существует);

=;

* 1≤k≤n;;;

* k

=

A= * =;

= =1,07; *

б) Каждый работник обслуживает жителей только одного района. Тогда:

n=1. λ = 2; μ = 3; ρ =

P₀ = (1 + ρ)^-1 = P_k=P_n· _k>n

P₁ = ρ*P₀ = =, P₂ = ρ*P₁ = =, P₃= =, ……

,

В случае неограниченной очереди (все жители обслужены) при том же среднем числе загруженных каналов увеличивается средняя длина очереди (1.33 в каждом ателье против 1.07 – общая очередь в ателье с 2-мя мастерами). Среднее время ожидания в очереди при этом возросло более чем в 2 раза с 17 мин. до 40 мин.

Как видно, разделение СМО на несколько систем, работающих независимо, с разделением потока заявок приводит к снижению эффективности работы в целом.

СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ

Пусть система имеет n каналов обслуживания. Входящий поток требований – простейший с интенсивностью λ. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с параметром μ. Если в момент поступления требования все каналы заняты, то оно встает в очередь. Однако время пребывания требования в очереди – ограниченно. По окончанию этого времени, если требование не поступило на обслуживания, то оно покидает систему не обcлуженным.

Следует отметить, что ограничение на время ожидания в очереди носит принципиальный характер, т.к. при вычислении вероятностей состояний СМО необходимо знание не только текущего состояния (числа требований в системе), но и того, как давно пришли требования, ожидающие обслуживания. Таким образом, процесс функционирования системы характеризуется наличием последействия и, в общем случае, перестает быть марковским. При этом максимальное время ожидания может быть как детерминированным, так и случайным.

Рассмотрим случай, когда максимальное время ожидания T = const. В этом случае вероятность перехода системы из одного состояния в другое зависит не только от того, сколько требований находится в системе на обслуживании и в очереди (т.е. от состояния системы), но и от того, как давно требование, стоящее в очереди, находится в системе. От этого зависит – будет ли требование оставаться в системе или покидает ее, как только время ожидания превысит допустимое. Т.е. налицо последействие и последовательность состояний системы (процесс изменения состояний) – немарковский.

Для описания процесса функционирования такой СМО нельзя,напрямую, использовать уравнения размножения и гибели. Однако, описание СМО с помощью марковской модели возможно, если использовать расширение понятия состояния. Для того, чтобы прогнозировать распределения состояний в будущем, необходимо знать, как давно пришли в систему требования, которые в настоящее время находятся в очереди. Это можно сделать, включив в число обобщенных координат, описывающих состояние СМО, давность прихода каждого ожидающего требования, или, что то же самое, время, которое осталось у него до окончания срока ожидания. Расширение понятия состояния приводит к увеличению мерности задачи при учете состояний системы. (см. конспект Бомас.)

Для исследования подобных СМО как немарковских (как, впрочем, и любых других, в том числе и марковских) широко используется имитационное моделирование. При этом оценки параметров исследуемой СМО ищутся на основе статистической обработки результатов моделирований, полученных по множеству прогонов (реализаций).

Пусть Максимальная длительность ожидания ограниченна случайной величиной. В этом случае все зависит от закона распределения ограничения максимального времени ожидания Ʈ, т.к. именно это ограничение вносит в систему последействие. Поэтому вернуть процессу функционирования СМО марковость крайне просто. Достаточно принять для описания случайной величины Ʈ экспоненциальное распределение. Однако при этом нельзя забывать, что такая операция возможна лишь в том случае, когда реальное распределение или действительно экспоненциальное, или близко к нему. Если это не так, то сформированная математическая модель будет неадекватна реальной СМО.

Ограничимся случаем, когда максимальная длительность ожидания требования в очереди Ʈ имеет экспоненциальное распределение.

(функция распределения), (функция плотности). Здесь ν – параметрзакона распределения. Среднее значение будет.

Такие процессы функционирования СМО можно представить следующим образом(см. рис.).

На вход системы поступает поток требований (простейший) с интенсивностью. Если не все каналы заняты (k < n), то пришедшие требования сразу же начинают обслуживаться. Обслуженные требования покидают систему с интенсивностью.

Если все каналы системы заняты, (k > n), то обслуженные требования покидают систему с интенсивностью.Кроме того, возникает еще один поток требований – покидающих систему не дождавшись обслуживания. Интенсивность этого потока равна.

Т.к. показательное распределение максимального времени ожидания также обладает свойством «отсутствия памяти», т.е. распределение оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени требование уже прождало в очереди, то последовательность состояний системы оказывается «без последействия» и является «Марковской». Это позволяет описать ее с помощью уравнений «размножения и гибели». В частности, для неограниченной очереди (m = ∞) они имеют вид:

..

Значения финальных вероятностей соответственно равны:

Из,,

.

Зная значения финальных вероятностей можно найти основные характеристик функционирования СМО в стационарном режиме (m_кан; m_оч; m_отк и другие).

Однако при определении в стационарном режиме характеристик функционирования СМО необходимо иметь в виду, что не все требования, поступившие в систему, будут обслужены.

1) Вероятность того, что требование, подошедшее к системе, получит отказ

2) Вероятность того, что пришедшее требование поступит в систему.

Поток этих требований с интенсивностью λ_сист=λ·P_сист=λ(1-Р_n+m) разобьётся на два потока:

- обслуженных требований, с интенсивностью λ_обс= m_кан·µ;

- покинувших систему не обслуженными, из-за ограничения на время ожидания в очереди, с интенсивностью λ_пок = m_оч·ν.·

Причем, для него будет выполняться условие λ_сист=λ_обс+ λ_пок.

Тогда для любого требования, вошедшего в систему из входного потока, вероятности обслуживания или не обслуживания (покидания системы не обслуженными) будут пропорциональны интенсивностям соответствующих потоков:

,

а для требования, подошедшего на входе к системе, соответствующие вероятности будут равны:

,

Следует отметить, что в режиме статистического равновесия всегда должно выполняться следующее условие равенства потоков требований:

λ = λ_отк + λ_сист= λ_отк + λ_обс+ λ_пок.

Средние временные характеристики для требований, на основании формул Литтла будут:

1. Среднее время нахождения в канале обслуживания

2. Среднее время нахождения в очереди

3. Среднее время нахождения в системе

ЗАМКНУТЫЕ СМО

Наряду с задачами, когда интенсивность входного потока требований в систему λ неизменна, на практике часто встречаются задачи, когда число источников требований ограничено, и интенсивность входного потока зависит от того, сколько источников уже послало требования в систему на обслуживание. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Система содержит R станков, которые обслуживают n рабочих. Каждый станок может отказать в случайный момент времени. Время безотказной работы каждого станка подчинено экспоненциальному закону распределения,где t – момент наступления отказа, λ – параметр, который можно рассматривать как интенсивность потока отказов одного станка, если считать, что после отказа он мгновенно переводится в рабочее состояние и снова работает до очередного отказа.

Если хотя бы один из рабочих свободен, то станок начинает обслуживаться. Время обслуживания распределено также экспоненциально с параметром µ. Если все рабочие заняты, то станок становится в очередь на обслуживание (ремонт), длина которой не может быть больше чем m = R-n.

Схематически данную систему, как СМО можно представить в следующем виде:

Заявки (R-k) каналы (n)

Очередь (k-n)

m 2 1

Входной поток выходной

поток

(R-k) λ (nµ)

Обозначим k – число заявок на обслуживание (число отказавших станков), 0 ≤ k ≤ R. Тогда интенсивность входного потока заявок зависит от числа отказавших станков и будет равна (R-k)·λ. С учётом этого уравнения Колмогорова-Чепмена, которыми можно описать данную СМО, примут вид (при условии, что R>n ):

Т. к. общее число состояний системы конечно, то при t в ней существует режим статистического равновесия. Приравняв правые части уравнений нулю можно найти значения финальных вероятностей:

.

Зная значения финальных вероятностей можно найти основные характеристики работы СМО в стационарном режиме, например:

1) Среднее число отказавших станков

M_отк

2) Среднее число исправных станков

M_испр = R - M_отк

3) Среднее число станков, находящихся в ремонте

M_рем

4) Среднее число неисправных станков, ожидающих ремонта (в очереди)

M_ож.рем

Все рассматриваемые выше СМО мы анализировали в предположении, что все потоки событий, происходящих в системе – простейшие. Это позволяло описывать их достаточно просто с помощи уравнений Колмогорова- Чепмена и, в частности, уравнений размножения и гибели. Кроме того – получать достаточно простые выражения для финальных вероятностей состояний системы и её основные характеристик в режиме статистического равновесия.

СМО С ПРИОРИТЕТАМИ

Как уже говорилось ранее, с точки зрения дисциплины обслуживания (регламентирует порядок поступления требований на обслуживание из очереди) СМО бывают без приоритетов – все время в одинаковом порядке (первый пришел – первый обслужился или последний пришел – первый обслужился) и с приоритетами, когда порядок обслуживания определяется не местом в очереди, а рангом требования. При этом приоритеты бывают относительные, абсолютные и динамические:

- относительный - требование, обладающее этим видом приоритета, поступает в первый освободившийся канал, минуя очередь (например, участники ВОВ, инвалиды идут без очереди)

- абсолютный - требование не ждет в очереди и, если все каналы заняты, оно вытесняет требование, чей приоритет ниже, соответственно снимая его с обслуживания, (например: передача по TV экстренного сообщения, прямое выступление президента и т.п.)

- динамический - требованию присваивается приоритет в зависимости от ситуации (состояния системы); например, если до освобождения канала осталось немного времени, назначается относительный приоритет, если много, то абсолютный.

Назначение динамических приоритетов – это элемент управления функционированием СМО.

Рассмотрим незамкнутую СМО без ожидания (типа М/М/n/m=0). Напомним, что это означает пуассоновский поток на входе, экспоненциальное распределение времени обслуживания, n каналов, очередь отсутствует.

Рассматривание данной СМО в случае наличия требований с относительным приоритетом не имеет смысла, т.к. в ней нет очереди и любое требование (с приоритетом или без него) попадает сразу на обслуживание, если имеется свободный канал.

Рассмотрим случай, на входе системы есть требования только двух рангов – обычные (без приоритета) и приоритетные (с абсолютным приоритетом).

Тогда, в отличие от рассмотренных ранее СМО, в данном случае входящий поток будет складываться из двух независимых:

1) поток приоритетных требований интенсивностью λ₁;

2) поток неприоритетных требований с интенсивностью λ₂.

Так как оба потока пуассоновские, то и суммарный поток также пуассоновский интенсивностью.

В силу того, что требования потоков различны по существу, то и обслуживание их происходит по-разному:

µ₁ - интенсивность обслуживания приоритетных требований;

µ₂ - интенсивность обслуживания неприоритетных требований.

Обозначим: i - число приоритетных требований, находящихся в системе на обслуживании, j - число неприоритетных требований, находящихся в системе на обслуживании. Очевидно, что в процессе функционирования СМО всегда должно выполняться условие 0 ≤ i+j≤ n.

Случайный процесс К(t), описывающий изменения числа требований в системе, также будет составным К(t) = K₁(t) + K₂(t), где K₁(t) – число приоритетных требований в системе, K₂(t) – неприоритетных требований.

Обозначим через P_i,j(t) вероятность того, что в системе в момент времени t находится i приоритетных и j неприоритетных требований, т.е.

.

По аналогии с неприоритетными системами, используя уравнения размножения и гибели (Колмогорова-Чепмена), можно записать уравнения для вероятностей состояний СМО в стационарном режиме.

До тех пор, пока число требований в системе в сумме меньше числа каналов обслуживания (1<i+j<n), вид уравнений принципиально не отличается от уравнений для СМО без приоритетов, и в системе «мирно уживаются», не мешая друг другу, одновременно два потока требований (с приоритетами и без приоритетов.

= 0

, при 1 <i+j<n.

Если же число требований в системе уже достигло числа каналов обслуживания (1<i+j = n), то появление нового требования происходит только в случае возникновения требования с приоритетом (с интенсивностью λ₁). При этом в системе в данный момент должно быть хотя бы одно неприоритетное требование, которое вынуждено будет покинуть систему не обслуженным. Уравнение будет иметь вид:

при 1<i+j = n

Как видим написание системы уравнений, отвечающим данной СМО, весьма просто. Она позволяет вычислить любую из вероятностей P_i,j.

Специфическим элементом обслуживания в подобной системе с приоритетом является характер отказов.

1. Отказ приоритетному требованию (приоритетное требование подошло и получило отказ). Это может произойти, только если все каналы заняты такими же приоритетными требованиями.

2. Отказ неприоритетному требованию (отказ требованию 2-го потока). Здесь возможны варианты.

2.1. Подошло неприоритетное требование, но все каналы заняты. В этом случае неприоритетное требование получает «чистый отказ». Вероятность этого равна.

2.2. Подошлоприоритетное требование (1-го потока).Все каналы заняты, но хотя бы в одном из них обслуживается неприоритетное требование (2-ого потока). Неприоритетное требование будет вытеснено (получит отказ типа «недообслуживание»). Вероятность этого равна.

Следует отметить, что перечисленные вероятности потерь являются условными. Причем поступление очередного приоритетного требования (высшего ранга) является условием при вычислении вероятностей P_отк1 и P``_отк2, а появление неприоритетного требования - при вычислении вероятности P`_отк2.

Представляет интерес распределение числа требований 1-го и 2-го потоков раздельно. Для этой цели вводятся вероятности Р_.j и Р_i.

= P{K(t) =j} и = P{K(t) =i},

гдеi - приоритетные требования, j- неприоритетные требования.

Следует заметить, что распределение числа приоритетных требований в системе никак не зависит от числа неприоритетных, т.к. они (приоритетные) их просто «не замечают». Поэтому распределение числа приоритетных требований может быть описано с помощью уравнений и формул Эрланга, как если бы в системе был только один поток.

Пример. Одноканальная система M/M/1/m=0, с абсолютным приоритетом.

(два потока требований: первый– приоритетный (λ₁), второй – неприоритетный (λ₂).

Интенсивности обслуживания: ν₁ и ν₂).

Эта система может быть моделью телефонной линии: обычные абоненты – неприоритетные требования (среднее время разговора 1/ν₂), неисправности – приоритетные требования (среднее время ремонта 1/ν).

Множество состояний:

{0;0} – линия исправна и свободна,

{1,0} – линия неисправна,

{0,1} – линия исправна, но занята.

Составим уравнения для описания СМО в стационарном режиме и решим их:

Используя нормирующее условие получим:

.

,

.

Распределение состояний вычислено. Система в статистическом смысле полностью определена. Можно искать ее любые характеристики. Найдем описанные выше вероятности отказов:

P_отк1=Р_1,0 - вероятность, что все каналы заняты приоритетными требованиями. Линия неисправна, идет ремонт. Новая неисправность невозможна (отказ приоритетному требованию);

P_отк2`=Р_1,0+Р_0,1 – либо линия неисправна, либо кто-то разговаривает (поступившее требование на разговор получает «чистый» отказ);

P_отк2``=Р_0,1Известно, что произошел отказ. В данном случае Р_0,1 – это вероятность, что отказ прервал разговор(вероятность занятости канала требованием 2-го потока в момент отказа).

Следует отметить, что перечисленные вероятности потерь являются условными. Причем поступление очередного приоритетного требования (высшего ранга) является условием при вычислении вероятностей P_отк1 и P_отк2``, а появление неприоритетного требования - при вычислении вероятности P_отк2`.

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ СМО.

При организации СМО важно выбрать ее параметры так, чтобы наилучшим образом решать стоящие перед ней задачи. При этом качество их решений определяется, как правило, с помощью векторного критерия эффективности, компонентами которого являются частные показатели эффективности СМО.

Решение задачи выбора рациональных параметров СМО как векторной – затруднительно. Поэтому на практике достаточно часто используют сведение частных показателей эффективности в один – обобщенный с помощью различных процедур свертки и далее задачу рассматривают как моно критериальную.

В качестве такого интегрального (обобщенного) показателя в широком классе задач можно использовать величину прибыли, получаемой от функционирования СМО, которая определяется, с одной стороны, доходами от обслуживания заявок (например, клиентов в парикмахерской), с другой стороны, расходами на создание (модернизацию) системы (создание каналов обслуживания, мест в очереди, аренда помещений, зарплата работников, увеличение интенсивности обслуживания и т.п.), штрафами – расходами, которые вынуждена нести система, чтобы «не отпугнуть» клиентов за отказ в обслуживании, за незавершенное обслуживание) и т.д.

Оптимизируемыми параметрами при этом могут быть: число каналов обслуживания n, максимальная длина очереди m, интенсивность обслуживания, стоимостные показатели и другие параметры СМО, которые варьируются в рамках заданных для них ограничений.

Однако стоимостной критерий не является универсальным. В ряде задач большее значение играет факт выполнение СМО поставленной перед ней задачей. Например, если в качестве СМО рассматривается система ПВО. Тогда в качестве показателя эффективности такой системы можно рассматривать математическое ожидание числа обслуженных (пораженных) самолетов противника, вероятность проникновения самолета через систему ПВО (вероятность, что заявка не будет обслужена) и др.

Рассмотрим, в качестве примера, некоторую СМО с ограничением времени нахождения требования в очереди (см. рис.). Если все потоки в системе будут распределены по экспоненциальному закону, то такая СМО является марковской и ее процесс функционирования может быть описан с помощью уравнений Колмогорова-Чепмена.

Примером такой СМО может являться парикмахерская. В качестве критерия эффективности будем использовать величину прибыли (в рублях), получаемой от функционирования данной СМО в стационарном режиме, которая определяется как разность между доходами от обслуживания клиентов (заявок) и расходами на содержание системы за некоторый заданный период времени T (например, один месяц).

Для проведения расчетов примем:

n – число каналов обслуживания;

m –максимальное число мест в очереди;

λ - интенсивность поступления заявок в единицу времени (в час);

µ - интенсивность обслуживания (число заявок, обслуживаемых в канале обслуживания за один час);

ν - интенсивность покидания очереди (для одной заявки) ввиду ограничения времени нахождения в очереди (в час).

S_д – средний доход от обслуживания одной заявки (руб.);

S_отк – расходы (бонусы), которые представляет система клиентам (заявкам), не вошедшим в систему, если все места в очереди заняты (руб.);

S_пок – расходы (бонусы), которые представляет система клиентам, вынужденным покинуть систему не обслуженными в связи с большой очередью и ограничением на время нахождения в ней (руб.);

S_ож – расходы (чай, кофе,…), которые представляет система клиентам во время ожидания ими начала обслуживания (руб.);

S_кан – расходы, которые несет система, для создания одного канала обслуживания, отнесенные к заданному периоду времени T (руб.);

S_оч – расходы, которые несет система для создания одного места в очереди, отнесенные к заданному периоду времени T (руб.);

В качестве основных характеристик СМО при расчетах принять:

p_отк = p_n+m - вероятность получения отказа.

l_отк = l*p_отк - поток отказов в обслуживании.

l_сист = l*(1-p_отк) - поток требований, вошедших в систему.

n_пок = n*m_оч - поток требований, покидающих очередь по ограничению времени.

m_обс = m_кан*m - поток обслуженных заявок..

Р_обс - вероятность того, что требование из входного потока будет обслужено.

Р_пок - вероятность, что требование из входного потока покинет очередь не обслуженным.

t_ож.оч. - среднее время ожидания требования в очереди.

Для расчетов основных характеристик СМО можно использовать соотношения, рассмотренные ранее (см. СМО с ограничением времени ожидания требования в очереди).

После проведенных расчетов необходимо убедиться, что в стационарном режиме работы системы выполняется условие:

l = lотк + lсист, lсист = mобс + nпок.

Примечание: При вычислении доходов и расходов в системе за заданный период времени T (например, один месяц) принять число рабочих дней в месяце равным 25-ти, а число рабочих часов в день, равным 8-ми.

Если случайные потоки, анализируемые в рассматриваемой задаче нельзя рассматривать как марковские, то необходимые характеристики СМО можно получить с помощью имитационного моделирования.