Полигон

Прямая

Плоскость

Общее уравнение плоскости a*Px+b*Py+c*Pz+d=0 или или . Параметрически задается в виде , где L1,L2 – два непараллельных вектора в плоскости.

Расстояния от точки до плоскости .

Уравнение прямой, проходящей, через две точки.

Является также пересечением двух плоскостей, и может быть задана в виде системы из двух уравнений плоскости , либо параметрически .

Получить направление и точку для параметрического задания можно следующим образом (должен лежать в обеих плоскостях, а значит – быть перпендикулярным обеим нормалям). А точку получить из пересечения трех плоскостей, двух исходных и третьей – с нормалью L и проходящей через начало координат. Получаем систему

, ее решением будет .

В конце имеет смысл нормализовать вектор L.

Расстояния от точки до прямой .

Расстояние между прямыми считается следующим образом, сначала находится направление, перпендикулярное обеим прямым , а затем уже само расстояние, как проекция вектора A1A2 на это направление . Если же прямые параллельны (), то расстояние считается как расстояние от точки одной прямой до другой, например, . Если расстояние равно нулю – прямые пересекаются (при параллельных прямых – коллинеарны).

Две наиболее близкие точки прямых, проецируются в ту же точку, что и точка пересечения проекций прямых на плоскость с нормалью N. Поэтому можно воспользоваться формулами пересечения прямых для плоского случая. При этом плоскость задана базисом (L2,M) M=L2xN.

,

Пересечение прямой с плоскостью . , .

Сфера

Общее уравнение , или

Практически все формулы остаются как у окружности.

Это тот же полигон, только плоскость, в которой он лежит имеет некоторую ориентацию в пространстве. Т.о. сохраняются все свойства и алгоритмы для полигона на плоскости. Нормаль к плоскости в которой лежит треугольник ABC . Нормаль к плоскости в которой лежит произвольный полигон можно получить, либо взяв три неколлинеарные вершины, либо по формуле Ньэла.

,

Конечно затем нужно нормализовать N.

Более простая формула Ньэла .

Все алгоритмы для 2D случая можно применять и в 3D, это можно делать тремя способами:

1. Совместить плоскость полигона с плоскостью OXY и далее работать как в 2D случае.

2. Работать с проекциями полигона (правда, в проекциях нельзя правильно посчитать площадь) на одну из ортогональных плоскостей OXY, OXZ, OYZ. Плоскость выбирается в зависимости от нормали (например, если максимальным является модуль компоненты z выбирается плоскость OXY).

3. Работать в 3D пространстве с некоторыми модификациями формул. В основном это касается pdp, оно заменяется на смешанное произведение .