При поиске оптимальных условий

Тема 7.3. Планирование экспериментов на качественном уровне

Практическая работа № 5. Однофакторные и многофакторные эксперименты различных порядков

Исследование является экспериментом, если входные переменные изменяются исследователем в точно учитываемых условиях, позволяя управлять ходом опытов и воссоздавать их результаты каждый раз при повторении с точностью до случайных ошибок.

Планирование и анализ эксперимента представляет собой важную ветвь статистических методов, разработанную для решения разнообразных задач, возникающих перед исследователями. В одном случае необходимо обнаружить и проверить причинную связь между входными переменными (факторами) и выходными переменными (откликами), в другом – отыскать оптимальные условия ведения процесса или сравнить изучаемые объекты и т.д.

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Все переменные, определяющие изучаемый объект, изменяются одновременно по специальным правилам. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели, обладающей определенными статистическими свойствами, например минимальной дисперсией оценок параметров модели.

Для экспериментаторов, которые не занимаются планированием многофакторного эксперимента, наиболее привычным методом исследования является однофакторный эксперимент. Он заключается в том, что варьируется один фактор на нескольких уровнях, а все другие факторы поддерживаются постоянными. В этом случае можно получить количественную оценку эффекта только одного фактора.

Влияние других факторов оценить нельзя. Выводы о влиянии изучаемого фактора могут существенно различаться в зависимости от уровня фиксирования прочих факторов. Это часто приводит к ошибочным рекомендациям. Лишь в тех случаях, когда отклик является функцией одного фактора, однофакторный эксперимент вполне закономерен.

Однако на практике приходится иметь дело с многофакторными объектами, где однофакторный эксперимент неэффективен.

В многофакторных планах одновременно варьируется несколько факторов, а не каждый в отдельности.

План должен быть составлен так, чтобы при статистической обработке имелась возможность хорошо проанализировать эксперимент: проверить: существуют ли эффекты изучаемых факторов, определить величину этих эффектов (не увидеть несуществующие и не "проглядеть" действительные эффекты), найти наименьший значимый эффект и т.д. Оценки эффектов факторов можно считать достоверными только тогда, когда ни неоднородность экспериментальных единиц, ни другие неучтенные факторы не в состоянии привести к полученному результату.

В планировании эксперимента сам эксперимент рассматривается как объект исследования и оптимизации. Здесь осуществляется оптимальное управление ведением эксперимента, в зависимости от характера изучаемого объекта и целей исследования обоснованно выбираются тип планирование эксперимента, метод обработки данных. К различным типам эксперимента относятся: экстремальный, отсеивающий, сравнительный, описательный и другие виды.

Планирование многофакторных экспериментов – новый подход к организации и проведению экстремальных исследований сложных систем. Цель планирования эксперимента – извлечение максимума информации при заданных затратах на эксперимент либо минимизация затрат при получении информации, достаточной для решения задач. Планирование эксперимента позволяет соразмерить число опытов поставленной задаче.

Информационное наполнение системы

Планирование многофакторных экспериментов с сокращением перебора вариантов является мощным средством повышения эффективности исследований и уменьшения затрат времени и средств на эксперимент. Приведем пример плана 27-4 для семи факторов, каждый из которых изменяется на двух уровнях, кодируемых +1 и -1.

Номер опыта	X0	X1	X2	X3	X4 (X1X2)	X5 (X1X3)	X6 (X2X3)	X7 (X1X2X3)
	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1
	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1
	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1
	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1
	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1
	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

Таблица 1. Дробный факторный план 27-4*

По сравнению с полным перебором этот план сокращает число опытов в 16 раз. Если бы ставился полный факторный эксперимент, то это потребовало бы N = 27 = 128 опытов; а в данном плане N = 8.

Несмотря на малое число опытов, такой дробный факторный план обладает следующими свойствами:

Симметричностью относительно центра эксперимента: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца для каждого фактора равна 0, j – номер фактора (j = 1,2…k), i- номер опыта.

Ортогональностью любых двух векторов-столбцов плана: сумма почленных произведений их элементов равна нулю.

Нормировкой: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов.

Этот план позволяет получить оценки b – коэффициентов модели. Условие ортогональности обеспечивает независимость оценок коэффициентов. Если опыты выполняются произвольным образом, не по ортогональному плану, то оценки закореллированы. Это усложняет интерпретацию математической модели и не позволяет получить надежные рекомендации по отысканию области оптимума. Ортогональность обеспечивает хорошие статистические свойства оценок и приводит к простой формуле расчета b-коэффициентов: