Состоятельность. Чем больше размер выборки, тем уже и выше будет график функции плотности вероятности для

Рис. A.9.

Чем больше размер выборки, тем уже и выше будет график функции плотности вероятности для . Если становится действительно большим, то график функции плотности вероятности будет неотличим от вертикальной прямой, соответствующей . Для такой выборки случайная составляющая становится действительно очень малой, и поэтому обязательно будет очень близкой к . Это вытекает из того факта, что стандартное отклонение , равное , становится очень малым при больших .

В пределе, при стремлении к бесконечности, стремится к нулю и стремится в точности к .

Вообще говоря, если предел оценки по вероятности равен истинному значению характеристики генеральной совокупности, то эта оценка называется состоятельной. Иначе говоря, состоятельной называется такая оценка, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений.

В большинстве конкретных случаев несмещенная оценка является и состоятельной. Для этого можно построить контрпримеры, но они, как правило, будут носить искусственный характер.

Иногда бывает, что оценка, смещенная на малых выборках, является состоятельной (иногда состоятельной может быть даже оценка, не имеющая на малых выборках конечного математического ожидания). На рис. A.10 показано, как при различных размерах выборки может выглядеть распределение вероятностей. Тот факт, что при увеличении размера выборки распределение становится симметричным вокруг истинного значения, указывает на асимптотическую несмещенность. То, что в конечном счете оно превращается в единственную точку истинного значения, говорит о состоятельности оценки.