Дивергенция. Пусть в некоторой области пространства, в которой введены криволинейные координаты q1, q2, q3, задано дифференцируемое векторное поле a(M)

Пусть в некоторой области пространства, в которой введены криволинейные координаты q ₁, q ₂, q ₃, задано дифференцируемое векторное поле a (M). Найдем выражение дивергенции в ортогональных криволинейных координатах. По определению div a в точке M задается формулой:

Следовательно, мы можем вычислить div a в точке M как отношение потока вектора a через поверхность бесконечно малого параллелепипеда, изображенного на рис. 9.1, к объему dv этого параллелепипеда. Обозначим a ₁, a ₂, a ₃ компоненты вектора a в базисе e ₁, e ₂, e ₃ и вычислим сначала поток этого вектора через две грани, перпендикулярные ребру MM ₁.

Внешняя нормаль к грани MM ₂ N ₁ M ₃ совпадает с вектором (– e ₁). Следовательно, поток вектора a через эту грань (с точностью до бесконечно малых величин 1-го порядка относительно dv) равна

. (9.11)

Противоположная грань M ₁ N ₃ NN ₂ отличается от рассмотренной грани тем, что на ней первая криволинейная координата равна q ₁+ dq ₁; следовательно, значение величины a ₁ H ₂ H ₃ на этой грани отличается от ее значения на грани MM ₂ N ₁ M ₂ приращением:

Кроме того, направление нормали к грани M ₁ N ₃ NN ₂ совпадает с направлением вектора e ₁. Поэтому поток вектора a через грань M ₁ N ₃ NN ₂ равен

. (9.12)

Сложив выражения (9.11) и (9.12), получим, что поток вектора a через две параллельные между собой грани MM ₂ N ₁ M ₃ и M ₁ N ₃ NN ₂ равен

Аналогично рассматривая две другие пары параллельных между собой граней, получим следующие два выражения для потока векторного поля через эти пары граней:

и .