Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции. Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций

Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций

a) sin x, cos x) dx

Универсальная тригонометрическая подстановка , x=2 arctg t,

sin x =, cos x = . Нередко к цели быстрее ведут подстановки t=sin x, t=cos x, t = tg x.

б) sin^mx cosⁿx dx, m и n – рациональные.

Замена t = sin x ( или t = cos x), cos x = , dt =dx, тогда

sin^mx cosⁿx dx = .

с) Интегралы вида cos bx dx, sin bx dx, arccos bx dx,,

arcsin bx dx, arctg bx dx, arcctg bx dx, ln x dx вычисляются методом интегрирования по частям.

а) Дифференциальные биномы

(a+bxⁿ)^px^m, когда не является целой ни одна из трех дробей p, , +p.

б) Интеграл .

в) Интегралы вида , где - многочлен степени 3, 4 в ряде случаев не выражается через элементарные функции (эллиптические интегралы). В частности, следующие интегралы не являются элементарными функциями

, , 0<k<1;

или (после замены)

, .