Вычисление интегралов от элементарных дробей

I. Дроби вида .

для a¹1 и

II. Дроби вида .

1) b=1

, где u=x+p/2,a²=q - p²/4. Далее ln (u²+a² ) +С.

+C.

2) b>1.

Рассмотрим интегралы вида . Интегрируя по частям, получим

===.

Откуда получаем рекуррентное соотношение

, ,

позволяющее вычислять интегралы J_n.

§4 Интегрирование некоторых иррациональностей

1.

Через R(u,v,…,w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. Дифференциал от рациональной функции равен рациональной функции, умноженной на дифференциал независимого переменного.

Пример рациональной функции

=.

Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены , m – общий знаменатель дробей a,…,g (берут наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей). В рассмотренном выше примере, наименьшее общее кратное m=18.

2.Интегралы вида . Подстановки Эйлера

a ) a>0,

В этом случае ax²+bx+c=ax²+2xt+t², откуда -рациональная функция. Таким образом, подинтегральное выражение примет вид

= R₁(t) -рациональная функция от t. Кроме того dx=R₂(t)dt.

b) Корни x₁,x₂ квадратного трехчлена ax²+bx+c вещественные, тогда ax²+bx+c =a(x - x₁)(x - x₂).

Если x₁ = x₂, то =| x – x₁| и иррациональность отсутствует. Если x₁ ¹ x₂, то полагают и задача сводится к ранее рассмотренной

.

В этом случае можно так же сделать замену .

c) c>0

. В этом случае

ax²+bx+c= x²t²+2xt+ с, ax+b= xt² +2t, - рациональная функция. После замены получим

= R₁(t) - рациональная функция от t, dx=R₂(t)dt.

Можно показать, что этими тремя подстановками исчерпываются всевозможные случаи. Действительно, если a<0 и c<0 и действительных корней нет, то выражение ax²+bx+c=< 0 для всех x и область определения выражения пуста.

3. Интегрирование дифференциальных биномов m, n, p – рациональные числа.

Сделаем замену x=, x^m(a+bxⁿ)^pdx=. Таким образом, задача свелась к интегрированию биномов вида. Интегралы можно вычислить в следующих трех случаях:

а) p – целое (a+bt)^p t^q=R(t, t^q )

б) q – целое (a+bt)^p t^q=R(t, (a+bt)^p)

в) p+q – целое (a+bt)^p t^q=