Календарный план лекций по биохимии

Литература. § 22, 24.

Главные диаметры, кривых второго порядка, приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Классификация кривых второго порядка.

Выясним, при каких условиях диаметр перпендикулярен своему сопряженному направлению. В этом случае он служит осью симметрии кривой второго порядка.

Определение 2. Диаметр, перпендикулярный своему сопряженному направлению, называется главным.

Направления осей канонической системы координат в случае эллипса или гиперболы являются главными, а в случае параболы ‑ ось абсцисс канонической системы координат.

Пусть кривая второго порядка задана своим общим уравнением. Будем считать, что на плоскости введена прямоугольная декартовая система координат. Рассмотрим произвольный вектор, координаты вектора, ему перпендикулярного, равны. Векторы и сопряжены относительно кривой в том и только в том случае, когда их координаты удовлетворяют равенству (20.2). Подставим в него координаты этих векторов, после преобразований получим:, или

(20.3)

Решения уравнения (20.3) определены с точностью до пропорциональности, если вектор определяет главное направление, то это же направление определяет и любой ненулевой вектор, ему коллинеарный. Для определения числа главных направлений кривой нам достаточно найти число непропорциональных решений уравнения (20.3). Рассмотрим следующие случаи.

1.. В уравнении (20.3) все коэффициенты равны нулю, неизвестные и могут принимать любые значения, все направления являются главными. В этом случае уравнение кривой имеет вид:. Выделяя полные квадраты, после преобразований получим, что кривая представляет собой окружность. Окружность, как известно, симметрична относительно любого своего диаметра, поэтому из геометрических соображений также следует, что любое направление для нее является главным. Ясно, что справедливо и обратное утверждение. Если любое направление для кривой главное, то из (20.3) получим, и кривая представляет собой окружность.

2.. В этом случае уравнение (20.3) принимает вид. Кривая имеет два направления, определяемое векторами и.

3.. Тогда из (20.3) следует, что не равно нулю. Действительно, если, то уравнение принимает вид. Так как вектор отличен от нулевого, то получим, что противоречит условию. Разделив обе части уравнения (20.3) на, мы не «потеряем» решения уравнения. Обозначим, получим квадратное уравнение:

(20.4)

Его дискриминант равен:. Так как, то уравнение (20.4) имеет два решения, поэтому у кривой два главных направления.

Нами доказана следующая теорема.

Теорема 4. Если кривая совпадает с окружностью, то любое направление для нее является главным. Если она не совпадет с окружностью, то имеет два главных направления.

Для нахождения главных направлений кривой можно воспользоваться уравнением (20.4). Мы же рассмотрим другой способ их определения. Преобразуем левую часть равенства (20.3).

Таким образом,. Полученное равенство равносильно следующему:. Как известно, определитель второго порядка равен нулю, если его строки пропорциональны. Получим:

(20.5)

или Мы пришли к линейной однородной системе уравнений, которой удовлетворяют координаты главных направлений кривой. Поэтому она имеет ненулевые решения, что, как известно из курса алгебры, возможно в том и только в том случае, когда ее определитель равен нулю:

(20.6)

Уравнение (20.6) носит название характеристического уравнения кривой, а его решения – характеристические значений кривой. Мы получили второй способ определения главных направлений кривой. Для этого достаточно решить характеристическое уравнение (20.6), подставить найденные решения в уравнения системы (20.5) и определить ненулевые решения полученной системы.

Выясним, сколько решений имеет уравнение (20.6). Для этого раскроем определитель в его левой части и преобразуем уравнение к виду:

. (20.7)

Мы получили приведенное квадратное уравнение. Определим его дискриминант:. Так как, то уравнение всегда имеет решение, а кривая главное направление. Легко видеть, в том и только в том случае, когда. Уравнение (20.7) имеет одно решение, при этом кривая представляет собой окружность. Во всех остальных случаях у кривой имеется два характеристических значения. Свободный член уравнения (20.7) совпадает с первым инвариантом D кривой (см §19). Поэтому для кривых параболического типа, для которых, одно из собственных значений также равно нулю.

Пусть на плоскости дана прямоугольная декартовая система координат, в которой общее уравнение кривой имеет вид:

.

Рассмотрим прямоугольную декартовую систему координат, полученную из данной поворотом вокруг начала системы, и у которой ось ординат совпадает с главным направлением кривой. Такую систему будем называть новой. Если j ‑ ориентированный угол между осями абсцисс исходной и новой системами координат, то формулы перехода от первой системы ко второй при указанном повороте имеют вид (см. §9):

где и ‑ координаты одной и той же точки, соответственно, в старой и новой системах координат. При этом координаты единичных направляющих векторов и новой системы равны:

. (20.8)

Найдем коэффициенты в общем уравнении кривой в новой системе координат. Для этого выражения и через и из формул поворота системы координат следует подставить в общее уравнение кривой:

Раскроем скобки и сгруппируем члены при. Получим искомые коэффициенты уравнений кривой в новой системе координат:

(20.9)

Ось ординат новой системы координат имеет главное направление, поэтому векторы и также имеют главные направления, их координаты удовлетворяют уравнению (20.3), которое при условии, что координаты этих векторов равны (20.8), имеет вид:

. (20.10)

Сравним коэффициент уравнения кривой в новой системе координат (см. (20.9)) и левую часть уравнения (20.10), получим. Таким образом, если ось ординат системы координат имеет главное направление относительно кривой второго порядка, то коэффициент при произведении неизвестных и ее уравнения равен нулю.

Определим значения коэффициентов и в новой системе координат. Пусть корни характеристического уравнения кривой равны и. Будем считать, что базисный вектор новой системы координат соответствует корню. Тогда из (20.5) получим:

(20.11)

Рассмотрим теперь коэффициент (см. (20.9))

Аналогично показывается, что. Таким образом, мы доказали утверждение:

Теорема 5. На плоскости существует такая система координат, в которой уравнение кривой второго порядка имеет вид:

,

где и ‑ корни характеристического уравнения кривой.

Рассмотрим кривую g второго порядка. В предыдущем параграфе мы показали, что всегда можно выбрать такую прямоугольную декартовую систему координат, ось ординат которой имеет главное направление относительно этой кривой, в которой уравнение кривой имеет вид:

, (21.1)

где и ‑ корни характеристического уравнения кривой (характеристические числа кривой). В настоящем параграфе мы проведем полную классификацию кривых второго порядка и рассмотрим примеры нахождения канонического уравнения кривой.

Рассмотрим первый случай, кривая g ‑ центральная, она имеет эллиптический или гиперболический тип, ее первый инвариант отличен от нуля (см. §19). Из (19.8) следует, что первый инвариант кривой равен. Как было показано в §20, в этом случае характеристические числа и также отличны от нуля. Без ограничения общности можно считать, что в уравнении (21.1) коэффициент при положителен, иначе следует поменять знаки у коэффициентов этого уравнения. Выделим полные квадраты в левой части уравнения (21.1), приведем уравнение к виду:. Осуществим параллельный перенос системы координат по формулам: Введем обозначение. Тогда уравнение (21.1) примет вид:

(21.2)

I. Кривая имеет эллиптический тип. Тогда, и характеристические числа и положительны.

I₁.. Уравнение (21.2) приводится к виду. Если ввести обозначения, то получим:, т.е. каноническое уравнение эллипса. В этом случае кривая представляет собой эллипс. При этом, его центр находится в точке с координатами (проверьте самостоятельно).

I₂.. Уравнение (21.2) можно привести к виду:. Если ввести обозначения:, то окончательно получим:. На плоскости существует только одно точка, координаты которой удовлетворяют этому уравнению. Но если бы мы рассматривали точки, координаты которых являются комплексными числами, то полученное уравнение определяло бы пару пересекающихся прямых. Потому кривая с таким каноническим уравнением называется парой мнимых пересекающихся прямых.

I₃.. Ясно, что в этом случае уравнение (21.2) не имеет решения. Преобразуем его к виду. Ведя обозначения, окончательно получим:. Такой кривой на плоскости не существует. Но если рассматривать точки с комплексными координатами, то существуют точки, координаты которых удовлетворяют полученному уравнению. Кривая в этом случае носит название мнимого эллипса.

Мы рассмотрели всевозможные случаи для кривых эллиптического типа.

II. Кривая имеет гиперболический тип. Тогда ее первый инвариант отрицателен, и, в силу наших договоренностей,.

II₁. Предположим, что в уравнении (21.2). Тогда его можно преобразовать к виду:. Введем обозначения:. Окончательно получим:. Кривая представляет собой гиперболу.

Если в уравнении (21.2), то помножим обе части уравнения на, и сделаем замену неизвестных по формулам: Мы придем к предыдущему случаю, опять получим гиперболу.

II₂.. Уравнение (21.2) приводится к виду:. Если сделать замену:, то окончательно получим. Представим левую часть полученного уравнения в виде:. Кривая представляет собой пару пересекающихся прямых, имеющих соответственно уравнения: и.

Мы рассмотрели всевозможные случаи кривых, имеющих центр. Нетрудно установить, что во всех случаях начало канонической системы координат совпадает с центром кривой.

II. Кривая имеет параболический тип. Тогда, как отмечалось в предыдущем параграфе одно из собственных значении кривой равно нулю. Будем считать, что. Тогда уравнение (20.1) примет вид:. Без ограничения общности можно считать, что, иначе полученное уравнение следует умножить на. Преобразуем его к виду:

. (21.3)

II₁.. Преобразуем правую часть уравнение (21.3):. Осуществим параллельный перенос системы координат по формулам Уравнение (21.3) можно привести к виду:. Если ввести обозначения:, то окончательно получим:. Мы получили каноническое уравнение параболы при условии, что. Если, то следует поменять направление оси абсцисс.

Рассмотрим случай, при котором. Обозначим. Тогда уравнение (21.3) примет вид:

(21.4)

II₂.. Уравнение (21.4) можно представить как совокупность двух уравнений: и. Поэтому кривая представляет собой две параллельные прямые с уравнениями: и. Прямые параллельны оси абсцисс.

II₃.. Уравнение (21.4) принимает вид:. Кривая представляет собой прямую, или, как говорят, пару совпавших параллельных прямых.

II₄.. Уравнение (21.4) не имеет решений. В этом случае говорят, что кривая является парой мнимых параллельных прямых.

Мы провели полную классификацию кривых второго порядка на плоскости. Таких кривых существует три типа: эллиптический, гиперболический и параболический и девять видов. Мы доказали следующую теорему.

Теорема. Если на плоскости задана кривая второго порядка, то она принадлежит одному из следующих трех типов и девяти видов.

№	Тип кривой	Название кривой	Каноническое уравнение
	Эллиптический	Эллипс
	Мнимый эллипс
	Пара мнимых пересекающихся прямых
	гиперболический	Гипербола
	Пара действительных пересекающихся прямых
	Параболический	Парабола
	Пара параллельных прямых
	Пара мнимых параллельных прямых
	Пара совпавших прямых

Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой:.

Решение. Если сравнить данное уравнение с общим уравнением (19.1) кривой второго порядка, то в рассматриваемом случае

Поэтому характеристическое уравнение кривой (20.6) приводится к виду:. Оно имеет корни: Определим на какой угол j следует повернуть исходную систему координат, чтобы в новой системе уравнение кривой имело вид (21.1). В новой системе координаты базисных векторов равны: и, они удовлетворяют системе (20.11):

Для определения координат базисных векторов новой системы достаточно первое уравнение разделить на и решить полученное уравнение относительно, получим:

. (21.5)

Можно воспользоваться вторым уравнением этой системы. Самостоятельно проверьте, что мы получим то же значение тангенса искомого угла. Определив тангенс угла, найдем его синус и косинус по известным из тригонометрии формулам:. При этом следует иметь в виду, что искомый угол j расположен в первой четверти. Для упрощения уравнения кривой следует произвести замену неизвестных по формулам поворота системы координат вокруг ее начала

В рассматриваемом случае, согласно (21.5),. Искомый угол равен. Поэтому формулы поворота системы координат равны: Подставим их в уравнение данной кривой, получим:, или. Данная кривая - гипербола. Кривая представляет собой гиперболу.

для студентов 4 курса