Точечные оценки

1 2 3 4

ЗАДАЧИ

Выводы

Одноступенчатый метод при прочих равных условиях обеспечивает минимальную продолжительность испытаний.

Двухступенчатый метод при тех же условиях обеспечивает минимальный средний объем испытаний.

ТЕМА: РАСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ

Задача 1

Наработка системы до отказа описывается экспоненциальным распределением с параметров λ = 1*10^-4r^-1.

Определить вероятность безотказной работы Р(t₁) и плотность распределения f(t₁) при t₁=2000ч, а также среднюю наработку до отказа T

Решение

согласно Р(t₁)=е^-λ^t

Р(2000)=

согласно f (t)= λе^-λ^t

f(2000)=

согласно T = 1/λ=1*10⁴r

Задача 2

Рассчитать вероятности безотказной работы за 2000ч. Р(2000) системы регулирования уровня при следующих вероятностях безотказной работы элементов.

Р_Fb = Р_Fn = Р_е=0,94 Р₃_d=0,99 Р_р=0,93 Р_им=0,92 Р_ро=0,74

Решение

Структурные схемы

а)

б)

F_b, F_n – расходомеры питательной воды и пара.

L – уровнемер; 3_d – задатчик уровня, Р – регулирующий прибор; ИМ – исполнительный механизм.

РО – регулирующий орган.

Схема а)

Так как элементы соединены последовательно, то для определения вероятности безотказной работы системы необходимо перемножить вероятности безотказной работы элементов соединений последовательно

Р_с(2000) = 0,94³*0,99*0,93*0,92²*0,74²=0,35

Схема б)

Если для работы системы достаточного одного регулирующего органа, то вероятность безотказной работы системы регулирования уровня

Р_с(2000) = 0,94³*0,99*0,93(1-(1-0,92*0,74)²)=0,69.

Так как структурная схема надежности параллельно последовательная, то в этом случае умножаются вероятности отказов:

Р (t)+Q(t)=1.

Вероятность безотказной работы одной цепи Р₁(t)=0,92*0,74

Вероятность отказа Q₁(t)=1-0,92*0,74

Вероятность отказа двух ветвей

Тогда вероятность безотказной работы двух ветвей Р¹(t)=1-(1-0,92*0,74)².

Таким образом, использование резерва по регулирующему органу с исполнительным механизмом, являющихся наименее надежными элементами обеспечивается повышение вероятности безотказной работы до 2000 часов с 0,35 до 0,69.

ТЕМА: ПЛАНЫ ИСПЫТАНИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ

Задача № 1

Испытание систем на безотказность, проведение по плану [NUN], где N=15, показали следующие наработки на отказ:

t_i = 922,766,153,250,604,553,731,411,505,310,140,214,308,415,981

Найти точечную оценку и доверительные границы средней наработки до отказа с доверительной вероятностью γ=0,9.

Решение

Планы испытаний:

1. N – число испытываемых систем

2. R – наличие восстановлений во время испытаний при наличии отказа

U - отсутствие восстановлений во время испытаний при наличии отказа.

3. – критерий прекращения испытаний:

NUN – испытывается N систем, восстановление систем отсутствует, испытания прекращаются при отказе N систем.

1. Точечная оценка средней наработки до отказачасов

2. Оценка среднеквадратического отклонения средней наработки до отказа для плана NUN

часа

3. Оценка коэффициента вариации

4. Относительное значение нижней границы доверительного интервала

, гдедоверительный интервал величины при доверительной вероятности γ

α-квантиль нормального распределителя

, т.е. α = 0,95

Некоторые значения квантилей

α	0,5	0,7	0,8	0,9	0,95	0,97	0,99
Х_α		0,524	0,842	1,282	1,645	1,881	2,326

т.е. Х_0,95=1,645. тогдачас.

5. Относительное значение верхней границы доверительного интервала: Т_вр=t*r_вр; . Тогда часов.

Таким образом, можно сказать, что средняя наработка на отказ составляет 485 часов, и с доверительной вероятностью 0,9, минимальное время наработки до отказа 370 часов, максимальное время наработки до отказа 500 часов.

Задача № 2

При испытаниях N=20 восстанавливаемых систем по плану [NRT] получено n_∑=10 отказов. Длительность испытаний Т=1000 часов. Найти точечную оценку и доверительные границы параметра потока отказов и средней наработки на отказ при доверительной вероятности γ =0,8. Применимость простейшего потока предполагается доказанной.

Решение

Испытывается 20 систем, R - предполагается восстановление во время испытания 1000 часов.

1. Точечная оценка параметра потока отказов

2. Нижняя граница параметра потока отказов

где – квантиль Х²-распределения при вероятностии числом степеней свободы 2n_∑ (выбирается из спец таблиц). ; n_∑=10

Тогда 1/час

3. Верхняя граница параметра потока отказов

Задача № 3

При испытаниях N=10 систем по плану [NRT] не было получено отказов. Длительность испытаний Т=1000 часов. Найти доверительные границы параметра потока отказов и средней наработки на отказ при доверительной вероятности γ =0,95. Применимость простейшего потока предполагается доказанной.

Решение

Так как отказов не было, нижняя доверительная граница потока отказов ω_н=0.

Верхняя доверительная граница потока отказов в этом случае определяется

ω_вр=(2)/2NT=5,99/2*10*1000=3*10^-4 1/час