Способы единообразного описания газодинамических течений

Однородные разностные схемы. Схемы с псевдовязкостью.

Особенностью характеристических схем и схем бегущего счета является тот факт, что регулярный и единообразный счет для них возможен

только в области гладкого течения. Наличие разрывов сильно усложняет эти методики. Поэтому возникает необходимость в единообразной схеме, формулы которой были бы однотипны в различных точках сетки независимо от наличия и характера особенностей решения в окрестности точки. Такие схемы получили название однородных.

Выше мы отметили тот факт, что если рассматривать течение сжимаемых газов и жидкостей в отсутствие вязкого трения и теплопроводности, то они описываются разрывными решениями. Это значит, что не существует систем дифференциальных уравнений, применяемых для описания разрывных течений по той простой причине, что параметры разрывных течений недифференцируемы.

Особенности, возникающие в параметрах течения следующие: слабый разрыв (разрыв производных), контактный разрыв (граница раздела между газами с различными термодинамическими параметрами) и, наконец, сильный разрыв (ударная волна).

Множество всех течений с указанными особенностями описывается единообразно на основе выполнения законов сохранения массы, импульса и энергии для любой выделенной части газа или пространства. Это приводит к выполнению интегральных законов сохранения, которые мы выпишем для случая одномерного течения с различного рода симметрией , т.е. декартовой, цилиндрической и сферической систем координат.

В эйлеровых координатах законы сохранения имеют вид:

(3.3)

(3.4)

(3.5)

В лагранжевых (массовых) координатах законы сохранения имеют вид:

(3.6)

(3.7)

(3.8)

где , а - эйлерова координата точки, заданная уравнением:

(3.9)

В этих формулах - любой кусочно-гладкий замкнутый контур и - ограниченная им область на переменных и соответственно.

Примечание. Вообще говоря, этих законов сохранения недостаточно для полного описания течения: необходимо дополнить их требованиями неубывания энтропии любой фиксированной массы газа. Это требование исключает появление неустойчивых разрывов.

Интегральные законы сохранения (3.3)-(3.5) или (3.6)-(3.8) с условием неубывания энтропии есть консервативная система уравнений газовой динамики, применимая к любым течениям, в том числе с разрывными параметрами.

Система интегральных законов сохранения чрезвычайно неудобна для разностной аппроксимации ее на фиксированной сетке в случае наличия разрывов решения, так как они требуют явного выделения линий разрыва, аппроксимации дифференциальных уравнений вне линий разрыва и удовлетворения интегральных законов сохранения на линиях разрыва (так называемые условия Гюгонио).

Замечание. Именно так описывает течение метод характеристик. Поэтому ясно, что этот метод является одним из наиболее точных методов решения интегральных законов сохранения (3.3)-(3.5) и в случае разрывных решений, если, конечно, в нем учитываются и достаточно точно все возникающие особенности решения.

Игнорирование разрывов, которые возникают в течении, и прямая аппроксимация интегральных законов сохранения на фиксированных ячейках сетки такая же, как и на гладких течениях – приводят, как правило, к неустойчивой вычислительной процедуре, в которой ударная волна заменяется колебаниями большой амплитуды.

Прямая аппроксимация интегральных законов сохранения может привести, конечно, и к устойчивому приближенному описанию параметров течения, лишь только в том случае, если возникающая при этом разностная схема вносит диссипацию - «вязкость аппроксимации». Аппроксимируя недиссипативные члены уравнений, разностная аппроксимация вносит малые, а на разрывных решениях – большие добавки, которые могут дестабилизировать или стабилизировать численное решение. Хорошая разностная аппроксимация законов сохранения должна вносить «положительную» вязкость, которую затем в расчетах стремятся минимизировать.

Устойчивыми схемами, аппроксимирующими интегральные закона сохранения без явного введения в них псевдовязкости являются схемы Лакса, Лакса-Вендроффа, С.К. Годунова.

Характерной чертой прямой аппроксимации интегральных законов сохранения является так называемое свойство консервативности или дивергентности получающихся при этом разностных схем.

Это свойство состоит в том, что уравнения разностной схемы могут быть интерпретированы как запись интегральных законов сохранения (3.3)-(3.5) или (3.6)-(3.8) для ячейки сетки, образованной пересечением прямых с прямыми при некоторой аппроксимации (или интерполяции) величин, входящих в законы сохранения на границах ячейки. Эта аппроксимация остается постоянной на данной границе ячейки, т.е. одинакова при записи законов сохранения в соседних ячейках.

Это обеспечивает свойство аддитивности консервативной разностной схемы, которое состоит в том, что при суммировании разностных уравнений по соседним ячейкам, мы получаем новое уравнение, которое также можно рассматривать как запись законов сохранения для внешней границы области, составленной из объединения этих ячеек. Короче говоря, разностные уравнения обладают теми же свойствами, что и криволинейные интегралы (3.3)-(3.5).

Это свойство дает следующее преимущество консервативным разностным схемам.

Для консервативной разностной схемы можно применить произвольные аппроксимации (интерполяции) величин на границах ячейки. Если при этом разностная схема сходится, т.е. семейство разностных решений имеет предел: (в некоторой слабой норме), то этот предел удовлетворяет именно нужным законам сохранения (3.3)-(3.5), а не каким-либо другим.

Распоряжаясь правильно имеющимся произволом в интерполяции величин на границах ячейки, можно получить дополнительные преимущества консервативных разностных схем.

Указанное свойство консервативных разностных схем схоже со свойством системы дифференциальных уравнений параболического типа:

, (3.10)

в которой «вязкость» - правая часть (3.10) - входит консервативным или дивергентным образом, как производная от выражения , где В –

довольно произвольная матрица.

Для системы уравнений (3.10) также имеем похожее свойство. Если при решение имеет предел , то этот предел удовлетворяет законам сохранения:

, (3.11)

То есть, является обобщенным решением системы уравнений

, (3.12)

Эта схожесть устойчивых аппроксимаций интегральных законов сохранения и «метода исчезающей вязкости» построения разрывных решений систем квазилинейных уравнений имеют не только внешний, но и глубокий характер. Для обеспечения устойчивости разностного метода в случае разрывных решений схема обязательно должна вносить «вязкость аппроксимации».

Перейдем ко второму, наиболее распространенному методу единообразного описания газодинамических течений – методу вязкости или «псевдовязкости».

В этом методе мы сразу отказываемся от детального рассмотрения ударных волн (как впрочем, и в других за исключением метода характеристик) и рассматриваем течение газов, обладающих некоторой вязкостью (и теплопроводностью), иногда, довольно похожей на настоящую физическую вязкость. В этом случае ее называют «псевдовязкостью». Вводя в уравнения газовой динамики эту искусственную вязкость, мы приближенно описываем ударные волны как плавный ударный переход.

Введение вязкости в законы газовой динамики достигается заменой давления в уравнениях (3.3)-(3.5) или (3.6)-(3.8) величиной :

, , (3.13)

где - коэффициент вязкости.

Обратим внимание, что введение вязкости повышает порядок дифференциальных уравнений по . Это требует постановки дополнительных условий на внутренних и внешних границах. На внутренних (контактных) границах это условие вытекает из требования непрерывности векторов потока импульса и энергии:

. (3.14)

На внешних границах обычно ставится условие . «Физическая» вязкость (3.13) допускает контактные разрывы, она их «не размазывает». Это достоинство физической вязкости всегда стремятся сохранить, вводя другие вязкости, так называемую «псевдовязкость».

В случае постоянного коэффициента вязкости и политропного газа для эффективной ширины ударного перехода в лагранжевых переменных получается выражение:

, (3.15)

где - скачок скорости на ударной волне.

Для реальных газов коэффициент вязкости довольно мал, соответствующая реальной физической вязкости ширина ударной волны имеет порядок длины свободного пробега молекулы . Столь малая реальная вязкость недостаточна для того, чтобы можно было без проблем проводить численные расчеты, поэтому обычно полагают:

, (3.16)

где величина специальным образом подбирается так, чтобы ширина, вычисленная по формуле (3.15) для характерных условий (- скорость звука), была приемлемой. Формула (3.16) правильно передает ширину ударной волны в разностном счете лишь при условии, что . Практически достигаются случаи .

Недостатком вязкости (3.16) является то, что она действует во всем течении, так что сильное сглаживание ударной волны, соответствующее большому значению , всегда связано с уменьшением точности расчета в областях гладкости течения.

Исходя из этих соображений, Дж. Фон Нейман и Р. Рихтмайер предложили нелинейную вязкость:

. (3.17)

Исследования показали, что ширина ударного перехода для вязкости (3.17) равна , то есть имеет порядок и не зависит от силы ударной волны. Вязкий член имеет в гладкой части течения порядок и, следовательно, не влияет сильно на точность расчета. В этом плюс формулы Неймана-Рихтмайера.

Отметим еще одну особенность вязкости Неймана-Рихтмайера. В отличие от линейной вязкости, терпит разрыв вторая производная. Так как в области ударной волны градиенты всегда велики, то этот разрыв производных приводит к постоянному источнику возмущений, вызывающих сильные осцилляции гидродинамических величин в окрестности фронта ударной волны. Его примерный вид представлен на Рис.1.

Рис.1

При этом амплитуда осцилляций возрастает при уменьшении коэффициента вязкости.

Сильная зависимость профиля разностной ударной волны от составляет характерную особенность схемы Неймана-Рихтмайера, которая в некоторых случаях затрудняет интерпретацию результатов.

3.4. Разностная схема Неймана-Рихтмайера - «крест» для системы уравнений газовой динамики с вязкостью.

При наличии вязкости единственным видом разрывов, допускаемых законами сохранения, является контактный разрыв. В предыдущей лекции

[см. Лекция 2] для описания течения идеального политропного газа в лагранжевых массовых переменных без учета вязкости для (n = 0) нами была определена следующая система уравнений [(3.13 а) - (3.17 а)]:

,

,

,

,

Если ввести вязкость , новую переменную и заменить , то эту систему можно представить в следующем виде:

, (3.18)

, (3.19)

, (3.20)

где , , (3.21)

вязкость определяется или формулой (3.16), или (3.17).

В случае течений без ударных волн преимущество и достоинства консервативных разностных схем становится менее очевидным. Если, однако, учесть, что ударный переход «размазывается» всего на несколько счетных интервалов, то можно понять, что это свойство остается полезным.

Первой опубликованной в печати разностной схемой, использующей «псевдовязкость», была схема Неймана-Рихтмайера. Эта схема относится к типу «крест».

Схема «крест» построена на аппроксимации первых двух законов сохранения (3.6) - (3.7) [или (3.18) - (3.19)] на прямоугольных ячейках разностной сетки в плоскости лагранжевых массовых переменных . При этом для достижения точности второго порядка и во избежание интерполяции термодинамические величины , , и скорость разнесены поразным точкам сетки –полуцелым и целым соответственно. Третье уравнение для энергии используется в недивергентном виде:

, (3.20 А)

Оно эквивалентно уравнению (3.20) и получается из системы (3.18)-(3.20) путем несложных преобразований.

Разностная схема «крест» имеет вид:

, (3.22)

, (3.23)

, (3.24)

где , (3.25)

, (3.26)

. (3.27)

В области гладкого течения схема имеет второй порядок точности, поскольку формулы (3.22) и (3.23) аппрксимируют законы сохранения формулой интегрирования с центрированными точками, а вязкий член имеет порядок . Формула (3.24) также имеет второй порядок точности. На Рис.2 показаны ячейки интегрирования для законов сохранения.

Рис.2

В практическом счете обычно избавляются от дробных шагов по времени, применяя сдвиг по временному индексу:

. (3.28)

Тогда формулы (3.22), (3.23) и (3.26) принимают вид:

, (3.29)

, (3.30)

. (3.31)

При произвольном уравнении состояния (3.27) формула (3.24) требует итераций для определения . В случае идеального газа формула (3.24) допускает явное разрешение относительно . Если аппроксимировать не уравнение (3.20 А) à , а закон сохранения энергии в интегральном виде (3.8), который в данном случае имеет следующий вид:

,

То при сохранении расположения точек сетки, в которых вычисляются ,, искорость , придется пользоваться интерполяцией скорости . Схемы такого рода применял И.М. Гельфанд.

Рассмотрим ряд модификаций схемы Неймана-Рихтмайера, связанные прежде всего с различным определением вязкости.

Р. Лэттер предложил модификацию метода Неймана-Рихтмайера. Вязкость вводится для того, чтобы сглаживать существующие, а также возникающие из волн сжатия ударные волны. Известно, что в волнах разрежения градиенты уменьшаются и при отсутствии вязкости. Поэтому в разностном счете целесообразно для повышения точности исключать действие вязкости в области волн разрежения, иначе говоря, «занулять» коэффициенты вязкости.

В плоском случае в волнах сжатия и ударных волнах выполняется неравенство:

,

в то время как для волн разрежения выполняется прямо противоположное условие:

.

В связи с этим Лэттер предлагает следующее выражение для вязкого члена:

(3.32)

Указанный прием становится особенно эффективным, если применять в разностном расчете линейную вязкость :

Тогда профиль ударной волны является аналитическим, осцилляционные эффекты становятся значительно меньше и при этом точность в области волн разрежения является достаточной.

Схемы (3.29) - (3.30) с условием для вязкости следующего вида:

,

где - скорость звука исследовались А.А. Самарским и В.Я. Арсениным.

Рассмотренная выше схема «крест» в версии Неймана-Рихтмайера не является консервативной разностной схемой, так как она аппроксимирует одно из уравнений (для энергии) взятое в недивергентной форме. При наличии вязкости это конечно допустимо.

Однако можно построить консервативные разностные схемы, аппроксимирующие законы сохранения вязкого газа как в лагранжевых, так и в эйлеровых координатах. Одно из преимуществ таких схем состоит в том, что они более точно передают интегральные характеристики течения при достаточно грубых сетках, чем неконсервативные схемы.

Ю.П. Попов и А.А. Самарский рассмотрели неявную разностную схему с весами, которую мы выпишем в случае лагранжевых переменных:

, (3.33)

, (3.34)

, (3.35)

, (3.36)

Уравнения (3.33) и (3.34) можно рассматривать как аппроксимацию законов сохранения импульса и объема на разностной ячейке, поэтому они консервативны. Распоряжаясь параметрами , можно добиться, чтобы уравнение (3.36) в сочетании с (3.33) – (3.35) было эквивалентно аппроксимации на ячейке разностной схемы интегрального закона сохранения энергии. Это достигается при

, (3.37) где - свободный параметр. Распоряжаясь свободными параметрами, можно менять характер интерполяции по времени. При уравнение (3.36) можно преобразовать к такому виду, что оно будет иметь вид аппроксимации уравнения (3.20 А), т.е. . При выполнении этих условий авторы называют схему (3.33) - (3.36) полностью консервативной. При этом имеется ввиду, что, помимо дивергентной аппроксимации дивергентного уравнения сохранения полной энергии, схема аппроксимирует с хорошей точностью и другие (недивергентные) формы уравнения газовой динамики.

При схема (3.33) – (3.36) имеет порядок аппроксимации . Все остальные схемы этого класса имеют порядок аппроксимации . При разностная схема абсолютно устойчива (в смысле локальной устойчивости), при - схема условно устойчива.

В.Я. Гольдин, Н.И. Ионкин и Н.Н. Калиткин также повторили полную консервативную схему с аппроксимацией для уравнений в лагранжевых координатах с учетом вязкости и теплопроводности, исходя из других соображений. В.Е. Трощиев построил полностью консервативную разностную схему с аппроксимацией второго порядка, которая является явной. В случае плоской симметрии схема В.Е. Трощиева совпадает со схемой «крест» Неймана-Рихтмайера (3.22) –(3.24).