Решение. Пример постановки задачи оптимизации

Пример постановки задачи оптимизации

Линейное программирование.

Условная оптимизация.

Тема 5. Лекция 5.

Степени лучевой болезни

Степень болезни	Доза,бэр	Основные признаки
I II III IV	100... 200 200... 400 400... 600	Скрытый период 2... 3 недели, затем недо­могание, слабость, повышение потливости, уменьшение содержания лейкоцитов. Скрытый период около 1 недели, рас­стройство функций нервной системы, голов­ные боли, головокружение, рвота, понос, уменьшение числа лейкоцитов (особенно лимфоцитов) вдвое. Скрытый период длится несколько часов, тя­желое общее состояние, сильные головные боли, понос, рвота, некроз слизистых оболо­чек в области десен, резкое уменьшение ко­личества лейкоцитов, а затем эритроцитов и тромбоцитов. Без лечения в 20... 70 % болезнь заканчивается смертью, чаще всего от инфекционных осложнений и кровотечений. Без лечения — смерть в течение двух недель.

Радиоактивная пыль заражает почву и растения. В зависимости от размеров частиц на поверхности растений может задерживаться от 8 до 25 % выпавшей на землю радиоактивной пыли. Лучевое поражение у растений проявляется в торможении роста и замедлении развития, снижении урожая, понижении репродуктивно качества семян, клубней, корнеплодов. При больших дозах облучения возможна гибель растений.

Надежной защитой от проникающей радиации служат убежища и ПРУ гражданской обороны. Для защиты органов дыхания от радиоактивной пыли используют противопыльные респираторы, от контакта с кожными покровами и одеждой – различные виды накидок и защитной одежды.

1. Пример постановки задачи оптимизации

2. Линейное программирование (ЛП)

2.1. Постановка задачи линейного программирования

2.2. Основные определения и теоремы

2.3. Переход от одной формы задачи ЛП к другой

3. Методы решения задач нелинейного программирования. Геометрическая интерпретация

Для изготовления 3-х видов изделий А, В и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия приведены в таблице.

Тип оборудования	Затраты времени (станко-ч.) на обработку одного изделия вида	Общий фонд рабочего времени
А	В	С
Фрезерное
Токарное
Сварочное
Шлифовальное
Прибыль

Определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

Пусть будет изготовлено Х₁ единиц изделия А

Х₂ единиц изделия В

Х₃ единиц изделия С.

Тогда при использовании фрезерного оборудования потребуется затратить 2Х₁ + 4Х₂ + 5Х₃ станко-часов.

Но по условию ограничения общего фонда времени

2Х₁ + 4Х₂ + 5Х₃ £ 120.

Аналогично для токарного, сварочного и шлифовального оборудования:

Х₁ + 8Х₂ + 6Х₃ £ 280

7Х₁ + 4Х₂ + 5Х₃ £ 240

4Х₁ + 6Х₂ + 7Х₃ £ 360

При этом, т.к. количество изготовляемых деталей не может быть отрицательным, то

Х₁ ³ 0, Х₂ ³ 0, Х₃ ³ 0.

Далее, если будет изготовлено Х₁ изделий А, Х₂ изделий В и Х₃ изделий С, то прибыль от их реализации составит

F = 10Х₁ + 14Х₂ + 12Х₃

Итак, мы получаем систему четырех линейных неравенств с тремя неизвестными (X_j (j = 1…3):

2Х₁ + 4Х₂ + 5Х₃ £ 120

Х₁ + 8Х₂ + 6Х₃ £ 280

7Х₁ + 6Х₂ + 7Х₃ £ 360

Х₁ ³ 0, Х₂ ³ 0, Х₃ ³ 0.

и линейную функцию F = 10Х₁ + 14Х₂ + 12Х₃ относительно этих же переменных.

Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств найти такое, при котором целевая функция F принимает максимальное значение.