Определение. Подполем поля
называется подкольцо в
само являющееся полем.
Например, поле рациональных чисел есть подполе поля вещественных чисел
.
В случае, если , то говорят, что поле
является расширением своего подполя
, а поле
называется погруженным в поле
. Из определения подполя следует, что нуль и еденицы поля
будут содержаться так же в
и служить для
нулём и единицей.
Пусть – некоторое семейство подполей поля
тогда имеет место следующие утверждение.
Теорема. Пересечение любого семейства подполей
поля
будет подполем в
.
Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству аналогичного утверждения для колец.
Пусть, как и ранее, – некоторое подмножество множества
поля
, такое, что оно содержится в каждом подполе семейства подполей
т.е.
, тогда можно определить минимальное подполе
поля
содержащее заданное множество
:
. (4.7)
Если взять пересечение , всех подполей, содержащих
и некоторый элемент
, не принадлежащий
, то
будет минимальным полем
, содержащим множество
.В этом случае говорят, что минимальное расширение подполя
поля
получено присоединением к полю
элемента
, и отражают этот факт в записи
.
Аналогично можно говорить о подполе поля
, полученном присоединением к полю
элементов
поля
.
Пример. Поле чисел вида , где
и
– любые рациональные числа, является расширением поля
рациональных чисел: оно получается присоединением к полю рациональных чисел числа
и поэтому может быть обозначено символом
.
Определение. Поля и
называются изоморфными, если они изоморфны как кольца.
По определению, если – изоморфизм полей
и
, то
и
, где
, а
.
Замечание. Говорить о гомоморфизмах полей не имеет смысла, так как
.
Напротив, автоморфизмы, т. е. изоморфные отображения поля на себя связаны с самыми глубокими свойствами полей и являются мощным инструментом для изучения этих свойств в рамках так называемой теории полей Голуа.
Определение. Поле, не обладающее никаким собственным подполем, называется простым и обозначается .
Теорема. В каждом поле содержится одно и только одно простое поле
. Это простое поле изоморфно либо
, либо
для некоторого
.
Доказательство. 1. Предположим, что существует два различных простых подполя и
поля
. Это означает, что их пересечение
(очевидно, не пустое поскольку 0 и 1 содержатся как в
, так и
), будет простым полем отличным от
и
, а это невозможно в виду их простоты. Следовательно, наше предположение неверно и простое поле
единственно.
2. В простом поле наряду с единичным элементом 1, содержатся все его кратные
(4.8)
Из общих свойств операций сложения и умножения элементов в кольцах следует, что
(4.9)
. (4.10)
Следовательно, целочисленные кратные составляют некоторое целочисленное коммутативное кольцо
.
Поэтому отображение кольца целых чисел
в кольцо
, определяемое правилом
(4.11)
является гомоморфизмом колец, ядро которого, будучи идеалом в , имеет вид
(4.12)
и состоит из тех целых чисел , которые отображаются в нуль, т.е. дают равенство
. Согласно теореме о гомоморфизме, кольцо
изоморфно кольцу классов вычетов
, где
– идеал кольца целых чисел.
Так как кольцо не содержит делителей нуля, следовательно, идеал
должен быть простым. Кроме того, идеал
не может быть единичным т.е.
, потому что иначе выполнылось бы равенство
. Следовательно, есть только две возможности:
1. , где
– простое число. В этом случае
является наименьшим положительным числом со свойством
. Таким образом, кольцо
изоморфно кольцу классов вычетов по модулю простого числа
т.е.
(4.13)
Кольцо для простого
является полем. Следовательно, кольцо
– также поле, являющееся простым.
2. и
. В этом случае гомоморфизм
целочисленных колец является изоморфизмом. В этом случае кольцо
не является полем, потому что таковым не является кольцо целых чисел.
Простое поле должно содержать не только элементы из
, в нем должны быть еще отношения этих элементов. Известно, что изоморфные целочисленные кольца
и
имеют изоморфные поля частных, так что в этом случае простое поле
изоморфно полю рациональных чисел
.
Замечание. Действительно, если коммутативное кольцо, например, кольцо целых чисел – вложено в некоторое тело
, то внутри
из элементов кольца
можно строить частные:
(4.14)
Таким образом частные составляют некоторое поле
, которое называется полем частных коммутативного кольца, в данном случае, из кольца обычных целых чисел
строится поле рациональных чисел –
.
Определение. Поле имеет характеристику нуль, если его простое подполе
изоморфно
; поле
имеет (простую или конечную) характеристику
, если оно изоморфно
.
Характеристика поля обозначается
, если
имеет характеристику нуль и
, если
имеет конечную (простую) характеристику
.
Замечание. Вместо для обозначения абстрактного поля из p элементов служит обычно
(Galois Field – поле Галуа).
Следует заметить, что существует конечное поле с
элементами, где
– простое, а
– любое целое положительное число.
Пример. Рассмотрим поле , состоящиеиз четырех элементов
Таблицы Кэли для операций сложения и умножения в поле
имеют вид:
+ | ![]() | ![]() | × | ![]() | ![]() | ||||||
![]() | ![]() | ||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Чем являются элементы нас пока не интересует.
Иногда нулевую характеристику называют бесконечной в соответствии с ее интерпретацией как порядка единичного элемента 1 в аддитивной группе поля . Аналогично конечная характеристика
– общий порядок любого ненулевого элемента в аддитивной группе поля
:
(4.15)
Все числовые поля являются полями характеристики нуль. Все конечные поля являются полями конечной характеристики. Действительно, если поле – конечное, то среди всех целых положительных кратных единице
этого поля обязательно будут кратные, равные между собой, в противном случае поле
было бы бесконечным. Пусть
, где
– некоторые натуральные числа, причем
. Тогда
и, следовательно, поле
– есть поле конечной характеристики.
Естественно возникает вопрос: каждое ли натуральное число может быть характеристикой некоторого поля ?
Ответ на этот вопрос следующий. Любое простое число , очевидно, является характеристикой поля. Другими словами, не существует полей, характеристиками которых были бы составные числа.
Теорема. Если поле имеет характеристику
, то число
– простое.
Доказательство. Доказательство будем вести от противного. Предположим, что – не простое число, тогда его можно представить в виде
, где
и
.
Тогда имеем:
Это означает, что , но так как в поле
не существует делителей нуля, то из равенства
следует, что либо
либо
, но это противоречит условию, что поле
имеет характеристику
. Следовательно, предположение, что
– составное число, неверно.
Рассмотрим элементарные свойства поля характеристики нуль и характеристики .
Теорема. Если – поле характеристики нуль, то любое целое
кратное всякого отличного от нуля элемента
не равно нулю:
.
Доказательство. Пусть – произвольный элемент поля
отличный от нуля: , а
– любое натуральное число. Тогда
Предположим, что т.е.
. Так как в поле
нет делителей нуля и, по условию,
, то из равенства
следует, что
, а этого не может быть. Поэтому предположение, что
неверное и, следовательно, при любом натуральном
имеем
. Более того
и при любом целом
. Действительно, если элемент
и
, то и противоположный ему элемент
поля
также был бы равен нулю, а этого по доказанному выше, не может быть.
Теорема. Если – поле характеристики
, то для любого элемента
справедливо равенство
.
Доказательство. Действительно,
.