2014-02-09
456
Кафедра Прикладной Математики
Факультет Прикладной Математики и Вычислительной Техники
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЛУЖБА ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ РОССИИ
Курсовая работа по дисциплине
«Вариационное исчисление»
Вариант № 1
Курсовая работа Работу выполнил(а)
защищена с оценкой студент(ка) группы ПМ 3-1
__________________
Профессор Ерзакова Н.А. __________________
__________________
(подпись руководителя, дата)
Ф.И.О. подпись, дата
Москва 2009
Основные вопросы к защите курсовой работы
1. Линейное нормированное пространство.Функционал в линейном нормированном пространстве, линейный функционал, непрерывный функционал.
2. Пространства 
и 
.
3. Локальные минимумы и максимумыфункционала.
4. Слабый и сильный экстремумы.
5. Вариация кривой. Основная лемма вариационного исчисления.
6. Простейшая задача вариационного исчисления. Экстремали.
|
|
|
7. Необходимое условие экстремума для простейшей задачи вариационного исчисления (уравнение Эйлера). Экстремали.
8. Дифференциал Гато. Производная Гато.
9. Теорема (необходимое условие экстремума функционала).
10. Вложение пространства Соболева в пространство непрерывных функций.
11. Вложение пространства Соболева в пространство Лебега.
12.Теорема (неравенство Коши–Буняковского).
13. Теорема (неравенство Коши).
14. Пространства Соболева. Теорема (неравенство Фридрихса).
15. Теорема (эквивалентность норм).
16. Теорема (соотношение классического решения краевой задачи с обобщенным).
17. Теорема (существования и единственности обобщенного решения).
18. Существование точной нижней грани у функционала энергии.
19. Теорема (существование и единственность функции, доставляющей минимум).
20. Теорема (равносильность задачи вариационного исчисления с задачей нахождения обобщенного решения краевой задачи).
21. Теорема (существование единственного решения системы Ритца).
22. Теорема (последовательность Ритца).
23. Простейшая задача вариационного исчисления. Условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса. Достаточные условия существования слабого минимума.
24. Простейшая задача вариационного исчисления. Условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса. Достаточные условия существования слабого максимума.
25. Простейшая задача вариационного исчисления. Условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса. Достаточные условия существования сильного минимума.
26. Простейшая задача вариационного исчисления. Условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса. Достаточные условия существования сильного максимума.
|
|
|
Дополнительные вопросы к защите курсовой работы
1. Является ли любой слабый экстремум сильным экстремумом?
2. Можно ли дифференцировать вариацию кривой? Если да, то сколько раз?
3. Является ли функционал 
линейным?
4. Всякая ли простейшая задача вариационного исчисления с неподвижными границами является задачей вида: 
, 
, 
?
5. Достигает ли минимума на функции 
функционал
?
6. Принадлежит ли последовательность 
, 
, 
- окрестности функции в пространстве 
?
8.Изменится ли утверждение основной леммы вариационного исчисления и ее доказательство, если на функцию 
наложить следующие ограничения: 
; имеет непрерывные производные до порядка 
, 
(
)?
9. Имеет ли отображение 
в точке 
производную Гато, если имеет в этой точке производную Фреше?
10. Если функция принадлежит пространству Соболева 
, то принадлежит ли она пространству Лебега 
?
11. Если функция принадлежит пространству Соболева 
, то принадлежит ли она пространству 
?
12. Эквивалентны ли любые две нормы в бесконечномерном пространстве?
13. Всякое ли обобщенное решение является регулярным решением краевой задачи?
14. Если функция 
определена на области 
, то, как определяется 
?
15. Если функция определена на области , то, что представляет для нее выражение 
?
16. Увеличится ли размерность системы Ритца в общем случае с уменьшением 
?
|
