П.3 Операции над множествами

После того, как мы научились составлять и различать множества, можно приступить к определению и других операций над ними. Естественно, что два множества могут иметь одинаковые элементы (их можно выделить в отдельное множество), из всех элементов двух множеств можно составить одно новое множество, также можно рассмотреть отдельно элементы одного множества, которых во втором множестве нет.

Например, А – множество наклеек (марок), которые есть у Пети, В – множество наклеек, которые собрал Вася. Можно выделить множество наклеек, которые есть у обоих ребят; коллекцию различных наклеек, собранных ими вместе; множество наклеек Пети, которых нет у Васи.

Таким образом, мы проделали операции пересечения, объединения и разности двух множеств.

Опр.2.3.1 Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств: С={х ½хÎА и хÎВ}. Обозначается, АÇВ.

Опр. 2.3.2 Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов данных множеств А и В и только из них: С={х½ хÎА или хÎВ}. Обозначается, АÈВ.

Естественно поставить вопрос о нахождении числа элементов в объединенном множестве С. Если множества А и В не содержат одинаковых элементов, т.е. не пересекаются (АÇВ=Æ), то

m (АÈВ) = m (A) + m (B) (1).

В противном случае, когда множества имеют m (АÇВ) одинаковых элементов, следует пользоваться более общей формулой:

m (АÈВ) = m (A) + m (B) - m (АÇВ) (2).

Опр.2.3.3 Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: С={х ½ хÎА и хÏВ}. Обозначается, А\В.

В случае, когда В является подмножеством А, т.е. ВÌА, разность А\В называется дополнением множества В до множества А (или относительно множества А).

В каждом отдельном случае мы рассматриваем (изучаем и пр.) всевозможные подмножества одного и того же множества. Например, в начальной школе дети учатся работать (выполнять основные арифметические операции) сначала с числами из первого десятка натуральных чисел, затем из первой сотни и т.д. Но их действия не выходят за рамки натуральных чисел (отрицательные и дробные числа они будут проходить позже). Аналогично, учитель может работать с некоторыми группами учеников, которые будут являться подмножествами определенного множества обучаемых данным учителем школьников. Каждый человек носит различные комбинации вещей, но только из своего личного гардероба. Это основное множество (свое в каждом отдельном случае) называется универсальным множеством.

Опр.2.3.4 Универсальным множеством называется множество, подмножества которого (и только они) в данный момент рассматриваются. Обозначают, U.

При работе с числовыми множествами, если не дается дополнительных указаний, в качестве основного (универсального) множества будем считать множество R действительных чисел.