Неравенство Чебышева

Теорема. Пусть (W,F,P) - некоторое вероятностное пространство и X - неотрицательная случайная величина, тогда для всякого e > 0 справедливо неравенство

(1)

Доказательство. Пусть случайная величина X представляется в виде

X = X ×I(X ³ e) + X × I(X < e) ³ XI (X ³ e) ³ eI (X³e),

где I(А) - индикатор события.

Поэтому, используя свойства математических ожиданий,

, отсюда

- это первое неравенство Чебышева.

Следствия. Если X - произвольная случайная величина, то для e>0

(2)

(3)

(3) - второе неравенство Чебышева в нецентрированной форме.

(4)

(4) - второе неравенство Чебышева в центрированной форме.

Пример. Дана случайная величина X с математическим ожиданием m_x и дисперсией s_x²=D_x. Оценить вероятность того, что X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на 3s_x.

Решение. Полагая в неравенстве Чебышева (формула (4)) e=3s_x имеем:

т.е. вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания выйдет за пределы трех средних квадратических отклонений не может быть больше 1/9. Это оценка сверху - верхняя граница вероятностного отклонения. Для нормальной случайной величины вероятностное отклонение =0,003.

Примечание. На практике имеем дело со случайными величинами, значения которых редко выходят за пределы m_x±3s_x (“правило трех сигм").