Опр. Прямая наз-ся асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой при удалении точки в стремится к 0, т.е. .
Опр. Прямая яв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции , если или (т.е. т. яв-ся точкой разрыва 2-го рода ф-ции ).
ПР.
Пусть прямая яв-ся наклонной асимптотой графика ф-ции . Найдем и .
. , (1)
_______________________________________________________
Найдем :
(2)
Если хотя бы один из пределов (1) или (2) не существует или бесконечен, то наклонной асимптоты при нет.
При аналогично.
ПР. ;
– верт. ас-та; – накл. ас-та.
§ 4. Общая схема исследования ф-ции и построения графика.
1. Исследование вида зависимости :
a) область определения;
b) точки разрыва;
c) четность и нечетность;
d) периодичность;
e) точки пересечения с осями координат;
2. Асимптоты:
a) вертикальные;
b) наклонные.
3. Исследование по первой производной:
a) критические точки 1-го порядка;
b) участки монотонности;
c) точки локальных экстремумов.
4. Исследование по второй производной:
a) критические точки 2-го порядка;
b) участки выпуклости и вогнутости;
|
|
c) точки перегиба.
5. Исследование поведения функции на концах области определения.
6. Построение графика с учетом результатов, полученных в пунктах 1-5.
Пр. 1)
1.
a)
b) непрерывна
c) – ф-ция общего вида
d) непериодическая
e)
2.
a) ф-ция непрерывна Þ вертикальных асимптот нет
b)
3.
a) критические точки 1-го порядка:
– – –
b) 0 1 x
c) экстремумов нет
4.
a) критические точки 2-го порядка:
+ – +
b) 0 1 x
c) точки перегиба:
5.
ПР. 2. .
1.
a)
b) непрерывна
c) ф-ция общего вида
d) не периодическая
e)
_______________________________________________________
2.
a) ф-ция непрерывна Þ вертикальных асимптот нет
b)
3.
a) критические точки 1-го порядка:
– + – –
0 4/3 2 x
b)
4.
a) критические точки 2-го порядка:
– – +
b) 0 2 x
c) точка перегиба:
5. ,
ПР. 3.
; ; – ас-ты, – min, – перегиб.
Пр. 4.
1.
a)
b) – т. разрыва 2-го рода
c) нечетная
d) непериодическая
e)
2.
a) – верт. асимптоты, , , , .
b)
3.
a)
+ – – – – +
b) -2 0 2 x
c) – точки максимума и минимума;
4.
a)
– + – +
b) -2 0 2 x
c) точка перегиба:
5. ,
________________________________________________________
§ 5. Глобальный экстремум. на практику!
Если непрерывна на , то своего наибольшего (наименьшего) значения она может достигать либо в точке локального экстремума, принадлежащей , либо на конце отрезка (проиллюстрировать на рис.).
Правило: чтобы найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке (области определения), надо:
1) найти все точки локальных экстремумов на (или критические точки первого порядка), вычислить в них ;
2) вычислить и (значения на концах области определения);
3) из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
|
|
Пр. Найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке . Ответ: .