Асимптоты

Опр. Прямая наз-ся асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой при удалении точки в стремится к 0, т.е. .

Опр. Прямая яв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции , если или (т.е. т. яв-ся точкой разрыва 2-го рода ф-ции ).

ПР.

Пусть прямая яв-ся наклонной асимптотой графика ф-ции . Найдем и .

. , (1)

_______________________________________________________

Найдем :
(2)

Если хотя бы один из пределов (1) или (2) не существует или бесконечен, то наклонной асимптоты при нет.

При аналогично.

ПР. ;

– верт. ас-та; – накл. ас-та.

§ 4. Общая схема исследования ф-ции и построения графика.

1. Исследование вида зависимости :

a) область определения;

b) точки разрыва;

c) четность и нечетность;

d) периодичность;

e) точки пересечения с осями координат;

2. Асимптоты:

a) вертикальные;

b) наклонные.

3. Исследование по первой производной:

a) критические точки 1-го порядка;

b) участки монотонности;

c) точки локальных экстремумов.

4. Исследование по второй производной:

a) критические точки 2-го порядка;

b) участки выпуклости и вогнутости;

c) точки перегиба.

5. Исследование поведения функции на концах области определения.

6. Построение графика с учетом результатов, полученных в пунктах 1-5.

Пр. 1)

1.

a)

b) непрерывна

c) – ф-ция общего вида

d) непериодическая

e)

2.

a) ф-ция непрерывна Þ вертикальных асимптот нет

b)

3.

a) критические точки 1-го порядка:

– – –

b) 0 1 x

c) экстремумов нет

4.

a) критические точки 2-го порядка:

+ – +

b) 0 1 x

c) точки перегиба:

5.

,

ПР. 2. .

1.

a)

b) непрерывна

c) ф-ция общего вида

d) не периодическая

e)

_______________________________________________________

2.

a) ф-ция непрерывна Þ вертикальных асимптот нет

b)

3.

a) критические точки 1-го порядка:

– + – –

0 4/3 2 x

b)

4.

a) критические точки 2-го порядка:

– – +

b) 0 2 x

c) точка перегиба:

5. ,

ПР. 3.

; ; – ас-ты, – min, – перегиб.

Пр. 4.

1.

a)

b) – т. разрыва 2-го рода

c) нечетная

d) непериодическая

e)

2.

a) – верт. асимптоты, , , , .

b)

3.

a)

+ – – – – +

b) -2 0 2 x

c) – точки максимума и минимума;

4.

a)

– + – +

b) -2 0 2 x

c) точка перегиба:

5. ,

________________________________________________________

§ 5. Глобальный экстремум. на практику!

Если непрерывна на , то своего наибольшего (наименьшего) значения она может достигать либо в точке локального экстремума, принадлежащей , либо на конце отрезка (проиллюстрировать на рис.).

Правило: чтобы найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке (области определения), надо:

1) найти все точки локальных экстремумов на (или критические точки первого порядка), вычислить в них ;

2) вычислить и (значения на концах области определения);

3) из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пр. Найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке . Ответ: .