Монотонность ф-ии. Точки локального экстремума

Т. 1. О производной монотонной ф-и:

1) Если диф-ма на и возр-ет (убывает) на , то .

2) Если диф-ма на , непрерывна на и , то возрастает (убывает) на .

Д-во 1) – возр-ет на , возьмем , . при и при в обоих случаях .

Д-во 2) на . Возьмем . По т. Лагранжа о конечных приращениях имеем: : . Т.к. возр-ет на .

Геом. смысл т еоремы: Если возр. на , то касательная к кривой в любой точке отрезка образует с Ox острый угол: .

Т. 2. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума):

Если опр. и диф. на и имеет в т. экстремум, то .

Д-во. Пусть т. – т. лок. max. : . Пусть . Тогда или .

_______________________________________________________

а) если , то при нек. , т.о. ф. возр. в нек. окр. т. (м. считать в ), тогда для и ;

б) если , то при нек. , т.о. ф. убыв. в нек. окр. т. (м. считать в ), тогда для и ;

Т.е. т. не явл-ся т. лок. max, т.е. противоречие.

Вывод: в точках, в к-х может быть экстремум (а может и не быть!).

Зам. 1: – точка локального экстремума.

Зам. 2: Ф-ция может иметь экстремум в т. , в которых не сущ. или равна .

ПР. . В т. ф-ция не диф-ма, но имеет мин.

ПР. . В т. , но экстр. в ней нет.

Опр. Точки ф-ции, в к-х или терпит разрыв, наз-ся критическими точками 1-го рода.

Очевидно, что не во всякой критической точке ф-ция имеет экстремум. Однако, если в т. ф-ция имеет экстремум, то это обязательно критическая точка.

Т.3. Первое достаточное условие существования экстремума: Пусть непр-на в нек. и диф-ма в ней за исключением, б.м., т. . Если при переходе ч/з т. меняет знак, то - т. лок. экстр. .

Д-во. Обозначим ;

.

Аналогично м. д-ть, что если , и , – т. лок. минимума .

Т.о., если при переходе слева направо ч/з т. меняет знак с + на –, то – т. лок. max; с – на +, то – т. лок. min.

ПР. – кр. т. 1-го рода, но экстр. нет.

ПР. не сущ. – кр.т.; – т. min.

ПР. . Найти экстремумы.

Правило отыскания локальных экстремумов :

1. Найти .

2. Найти критические точки 1-го порядка.

3. Нанести на числ. ось критические точки 1-го порядка и определить знаки на интервалах, на которые кр. точки 1-го порядка разбили .

4. Выделить кр. точки, при переходе ч/з которые меняет знак.

5. Выч-ть значения в т. экстр.

ПР. Предприятие производит x ед. продукции в месяц. Зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска продукции выражается формулой: . Определить, при каком объеме выпуска продукции фин. накопления предприятия максимальны.

_______________________________________________________

Реш. ; ; . .

Т.4. Второе достаточное условие существования экстремума: Если ф. в нек. имеет непр. 1-ю и
2-ю производные и , , то в т. имеет экстремум, причем max, если , и min, если .

Д-во. Пусть в силу непр. , убывает в нек. окр. т. . Но в этой окр. при и при – т. лок. max. ( д-ть сам.!).

Зам. 1: Если , то про наличие экстремума в точке ничего сказать нельзя.

Зам. 2: Если , то тоже и вопрос о существовании экстремума решается по первому достаточному условию.

ПР. . . при . , .

Зам.3. Достаточное условие 2 м. обобщить:

Пусть = =…= .

Если n -чет., то экстремум есть; если n - неч., то экстремума нет. При этом, если , то min; если – max.

§2. Направление выпуклости. Точки перегиба.

Опр. Непрерывная кривая наз-ся выпуклой вверх (выпуклым) на , если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Опр. Непрерывная кривая наз-ся выпуклой вниз (вогнутой) на , если все ее точки лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Выпуклая вверх кривая иногда наз-ся выпуклой, выпуклая вниз – вогнутой.

Т. 5. Достаточное условие выпуклости графика функции: Если ф-ция имеет и , то график ф-ции является выпуклой вверх (вниз) кривой на .

Геометрическое пояснение: возрастает, значит, увел-ся.

убывает, значит, умен-ся.

Правило для запоминания:

Д-во: ( можно не давать ). По опр., все т. кривой на должны лежать ниже кас-ной в этих т., т.е. ордината любой т. меньше ординаты кас-ной при одном и том же x.

;
, к разности

_______________________________________________________

запишем Т. Лагранжа: точка с:
, по т Лагранжа т. : .

а) , но .

б) , но .

Аналог. д-ся дост. усл. вып. вниз. (сам.!)

ПР. …кривая выпукла вверх.

Опр. Точка кривой, при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, наз-ся точкой перегиба.

Касательная в т. перегиба пересекает график!!! (+ рис.)

Т. 6. Необходимое условие перегиба: Если определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки и – точка перегиба, то . (+ рис.)

Замечание 1: – точка перегиба.

Зам. 2: В точке перегиба может не сущ. или (см. рис.).

Опр. Точки, в к-х , либо , либо не сущ-ет, наз-ся критическими точками 2-го рода.

Т. 7. Достаточное условие перегиба: Пусть непр-на в нек. и дважды диф-ма в ней за исключением, б.м., т. . Если при переходе ч/з т. меняет знак, то – абсцисса точки перегиба графика ф-ции .

ПР. 1. , , .

ПР. 2. ; ; .

ПР. 3. ; ; .