Дифференциальное уравнение электромагнитной волны

Как уже указывалось (см. § 161), одним из важнейших следствий уравнений Максвелла (см. § 139) является существование электромагнитных волн. Можно показать, что для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа (1S4.9):

(162.1) (162.2)

— оператор Лапласа, v — фазовая скорость.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (162.1) и (162.2), описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением

(162.3)

где , e₀ и m₀— соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m— соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

В вакууме (при e =1 и m = 1)скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как em > 1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.

При вычислении скорости распространения электромагнитного поля по формуле (162.3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экспериментальными данными, если учитывать зависимость eи mот частоты. Совпадение же размерного коэффициента в (162.3) со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны.

Следствием теории Максвелла является поперечностъ электромагнитных волн: векторы Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис. 227 показана моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны) и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v скорости распространения волны, причем векторы Е, Н и у образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы Е и Н всегда колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 227), причем мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением

(162.4)

Следовательно, Е и Нодновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д.

Рис. 227

Oт уравнений (162.1) и (162.2) можно перейти к уравнениям

(162.5) (162.6)

где соответственно индексы у и z при Е и Нподчеркивают лишь то, что векторы Е и Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z.

Уравнениям (162.5) и (162.6) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

(162.7) (162.8)

где Е₀и Н₀— соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны, w— круговая частота волны, k = w/v— волновое число, j— начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0. В уравнениях (162.7) и (162.8) jодинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одинаковых фазах.