Моделирование рельефа

Рельеф может рассматриваться как атрибут информации наряду с другими атрибутами природного или социально-экономического характера.

Примерами таких атрибутов могут быть количественные и качественные характеристики почвы (кислотность, гранулометрический состав, гумусность и т.д.), состояние социально-экономической сферы (плотность населения, урожайность продукции, себестоимость, рентабельность производства и др.).

Для всех этих атрибутов можно применять одни и те же методы моделирования или один и тот же класс – группу моделей.

Различают модели, учитывающие структуру рельефа и не учитывающие.

Рассмотрим вначале модели не учитывающие структуру рельефа. Их применяют в плоскоравнинных и пойменных районах.

В таких моделях значения атрибутов, в данном случае – высоты, располагаются в точках сетки квадратов, треугольников и других равносторонних фигур.

К таким моделям можно отнести модель билинейной интерполяции. При этом в интерполяции принимают участие четыре точки (рис.13).

H₁₀ L H₁₁

ΔY L

H

ΔX

H₀₀ H₀₁

Рис.13

В таком случае отметка точек вычисляется по формуле:

H(x,y)=[ H₀₀ (L – Δx)(L – Δy)+H₀₁(L – Δx) Δy +H₁₀(L – Δy) Δx +H₁₁ Δx Δy ] / ,

(1)

в которой L – шаг сетки,?x,Δy – текущие приращения координат относительно левого нижнего угла квадрата, - высоты точек, находящиеся в вершинах сетки квадратов.

Если принять?x=0, то формула билинейной интерполяции превратится в формулу линейной:

(2)

А при?y=0

(3)

Из этого видно, что формула (1) выводится на основе (2) и (3) при величинах?x и Δy, не равных нулю.

Формулы (2) и (3) применены для интерполяции с четырех узловых точек. Если их применять для шестнадцати точек, то можно вывести формулу бикубической интерполяции.

Следующий метод основан на ортогональных полигонах Чебышева вида

(4)

где i и j соответственно номера ортогональных стандартных полигонов Чебышева и .

Если принять максимально возможное значение для i равным 2, и для j равным 2, то формулу (4) можно записать так:

(5)

Если стандартные полиномы заданы, то значения коэффициентов А_ij следует найти. Их находят по методу наименьших квадратов на основе следующей минимизации

(6)

или с учетом (5)

(7)

Дифференцирование (7) по А₁₁,А₁₂,…….А₂₂ приводит к следующей системе уравнений:

(8)

Из решения которой находятся коэффициенты А₁₁,…….А₂₂…

В том случае, когда решение состоит из треугольников (не обязательно равносторонних) используется интерполяция с помощью скользящей плоскости, которая строится по трем вершинам треугольников.

Пусть имеется треугольник (рис.14) у которого известны координаты его трех вершин: Х₁У₁Н₁; Х₂У_2­­­Н₂; Х₃У₃Н₃.

2

(Х,У,Н)

1

рис.14

Тогда принадлежность точки треугольнику 123 определится следующим равенством

(9)

Это условие того, что высоты Н являются линейными комбинациями Х, У, 1 т.е. справедливо равенство H=a+bx+ey

Если обозначить

, ,

,

то уравнению (9) будет соответствовать следующее равенство:

-D₁x+D₂y-D₃H+D₄=0,

из которого следует, что

(10)

На основе (10) определяется отметка любой точки внутри треугольника.

Тип 2 интерполяции на основе триангуляции Делоне заключается в том, что высота определяемой формулы вычисляется по формуле:

,

где:

k=(k₁ k₂.... k _n),

=(H₁ H₂.... H _n)

а k_i – это ковариационный момент между отметкой определяемой точки и исходной с номером i, H_i – отметка этой исходной точки, K_i,j – ковариационный момент между исходными точками с номерами i и j.

Модели, учитывающие структуру рельефа могут использовать элементы регулярных моделей.

К первому классу таких моделей относятся полиномы следующего вида

(12)

Частным случаем (12) является полный полином второй степени, который чаще всего используется на практике

, (13)

коэффициенты которого определяются по методу наименьших квадратов при следующей минимизации

Во втором классе моделей по точкам, расположенным в характерных местах рельефа, строят поверхность, состоящую из суммы регулярных поверхностей вида

, (14)

где

Для определения коэффициентов В и С_j решается система уравнений (14) с известными высотами, число которых определяет размерность системы.