Задача о смесях

Фабрика производит фасованную смесь, состоящую из n видов компонентов (P₁, P₂, …, P_n), содержащих вещества S₁, S₂, …, S_m. Содержание веществ в 1 кг каждого вида компонента задано величиной – число единиц вещества S_i (), содержащееся в 1 кг компонента вида .

Совокупный объем фасованной смеси должен содержать не менее единиц вещества S₁, единиц вещества S₂, …, единиц вещества S_m.

Стоимость 1 кг компонента вида задана величиной .

Необходимо определить состав смеси (т.е. объем каждого компонента, входящего в состав смеси), имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида веществ было бы не менее установленного предела.

Пусть – объем компонента вида , входящего в состав смеси.

Ограничения по минимально необходимому объему содержания веществ может быть выражено следующей системой ограничений:

. (6.15)

По своей сути искомые величины не могут быть отрицательными, т.е.:

. (6.16)

Целевая функция, выражающая стоимость смеси, будет иметь вид:

(6.17)

Тогда математическую модель данной задачи можно сформулировать следующим образом: найти такой состав смеси X =(x₁, x₂, …, x_n), удовлетворяющий системе ограничений (6.15), условию (6.16), при котором целевая функция (6.17) принимает наименьшее значение.

Пример 6.3. Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов I и II. Один килограмм корма I стоит 80 ден. ед. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма II стоит 10 ден. ед. и содержит: 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов.

Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.

Фрагмент MathCAD-документа, реализующего решение данной задачи, представлен на рис. 40.