2015-01-30
3064
Пусть выполнены условия применимости интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Следствие 1. Вероятность того, что число 
наступлений события А в n повторных независимых испытаниях будет отличаться от величины 
не более чем на 
(по абсолютной величине), вычисляется по формуле
Следствие 2. Вероятность того, что доля 
наступлений события А в n повторных независимых испытаниях будет отличаться от вероятности p наступления этого события в одном испытании не более чем на 
(по абсолютной величине), вычисляется по формуле
Пример. Подлежат исследованию 1000 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна 0,15. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 будет заключено число проб руды с промышленным содержанием металла.
Решение. Искомые границы для числа проб руды с промышленным содержанием металла (из данных 1000 проб) определяются величинами 
и 
(см. интегральную теорему Муавра-Лапласа). Будем предполагать, что искомые границы симметричны относительно величины , где 
и 
. Тогда 
, 
для некоторого 
, и, тем самым, единственной определяющей неизвестной данной задачи становится величина . Из следствия 1 и условия задачи следует, что
По таблице значений функции Лапласа найдем такое 
, что 
Тогда 
и 
. Окончательно получаем искомые границы: 
т.е. с вероятностью 0,9973 число проб руды с промышленным содержанием металла (из данных 1000 проб) попадет в интервал (116; 184).
Пример. В лесхозе приживается в среднем 80% саженцев. Сколько саженцев надо посадить, чтобы с вероятностью 0,9981 можно было утверждать, что доля прижившихся саженцев будет находиться в границах от 0,75 до 0,85.
Решение. 
– вероятность прижиться для каждого из саженцев, 
. Пусть 
– необходимое число саженцев (искомая величина данной задачи) и – число прижившихся из них, тогда – доля прижившихся саженцев. По условию,
Данные границы для доли симметричны относительно величины 
, поэтому неравенство 
равносильно неравенству 
Следовательно, вероятность 0,9981 – это та самая вероятность, которая вычисляется по следствию 2 из интегральной теоремы Муавра-Лапласа при 
, 
:
По таблице функции Лапласа найдем такое значение , что 
Это значение: 
Тогда
и
Заметим, что значение округлено до целых в большую сторону, чтобы обеспечить, как говорят, “запас по вероятности”. Кроме того, видно, что полученное значение достаточно велико (более 100), поэтому применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа для решения данной задачи было возможно.
