2015-01-30
3593
Определение. Случайные величины Х и Y называются равными, если их законы распределения точно совпадают, и для произвольного числа 
справедливо равенство: 
Пример. Пусть законы распределения случайных величин Х и Y имеют вид:
| Y: |  | . | ||
 | 0,5 | 0,5 |
| X: |  | ||
| | 0,5 | 0,5 |
Эти случайные величины равны, если дополнительно справедливы равенства 
и 
, т.е. случайная величина Х принимает значение 0
тогда и только тогда, когда случайная величина Y принимает значение 0, и аналогично со значением 1.
Произвольная случайная величина допускает умножение на число. Действительно, пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:
 : |  |  |  | … |  |
| |  | | … |  |
и – некоторое число.
Определение. Случайной величиной 
называется такая случайная величина, закон распределения которой имеет вид:
 : | |  |  | … |  |
| | | | … | |
Пример. Пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:
| Х: | | |||
 | 0,16 | 0,48 | 0,36 |
и 
, . Тогда закон распределения 
:
 | | |||
| | 0,16 | 0,48 | 0,36 |
Можно придумать, например, следующую интерпретацию данному примеру. Заметим, что Х – биномиально распределена с параметрами 
. Пусть Х – число попаданий в мишень при 2-х выстрелах, при каждом из которых попадание случается с вероятностью 0,6, и дополнительно известно, что за каждое попадание стрелку выплачивается вознаграждение в размере 5 ден. ед. Тогда Y – заработок стрелка.
Определение. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если для любых i и j события 
и 
– независимы.
Пример. Пусть из коробки, в которой – 6 белых и 8 красных шаров, извлекается 1 шар. Рассмотрим случайные величины Х – число белых шаров, Y – число красных шаров из извлеченных. События, например, 
и 
– несовместны, а поэтому – зависимы (см. § 1.6). Следовательно, и случайные величины Х и Y зависимы.
Определение. Суммой (разностью, произведением) случайных величин Х и Y называется такая случайная величина 
(
, 
), которая принимает значение 
в некотором испытании, если значения и 
случайных величин Х и в этом испытании таковы, что 
(
).
Пример. Пусть заданы законы распределения независимых случайных величин Х и Y:
| Х: | | Y: | | ||||
| | 0,4 | 0,6 |  | 0,2 | 0,8 |
Составить закон распределения случайной величины 
.
Решение. Удобно использовать вспомогательную таблицу вида:
| | ||
| –1 |
в каждой из центральных клеток которой записаны соответствующие произведения случайных величин X и Y. Такая таблица показывает, какие значения принимает случайная величина U и когда она принимает эти значения. Так 
тогда и только тогда, когда 
и 
или 
и 
. Поэтому
.
Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, теорему умножения вероятностей – для независимых событий (по условию, случайные величины и – независимы), получаем
Для наступления каждого из двух оставшихся значений случайной величины U (-1 и 1) имеется по одной возможности. Например, 
тогда и только тогда, когда и . Тогда получаем:
Аналогично,
Окончательно, закон распределения случайной величины U имеет вид:
| U: |  | –1 | ||
| | 0,32 | 0,56 | 0,12 |
Упражнение. Составить законы распределения случайных величин 
Ответ.
| Z: |  | V: |  | |||||
| | 0,08 | 0,44 | 0,48 | | 0,52 | 0,48 |
| W: |  | R: |  | ||||
| | 0,4 | 0,6 | | 0,56 | 0,44 |
Заметим, что закон распределения случайной величины Z фактически найден в примере § 3.1 о двух стрелках. Действительно, исходные независимые случайные величины X и Y данной задачи могут быть интерпретированы как числа попаданий в мишень первого и второго стрелка из § 3.1. Тогда – общее число попаданий, и закон распределения этой случайной величины и найден в упомянутом примере.
