Совместные распределения и их параметры

Определение. Вектор , компоненты Х и Y которого являются случайными величинами, называется случайным вектором или двумерной случайной величиной.

Пример. Пусть Х – рост человека, Y – вес человека. Тогда – (непрерывная) двумерная случайная величина.

Пример. Пусть Х и Y – числа попаданий в мишень первого и второго стрелков (соответственно). Тогда – (дискретная) двумерная случайная величина.

Сравнивая между собой одномерную (см. выше темы 3, 4) и двумерную случайные величины, заметим, что, если результат измерения первой – точка на прямой, то результат измерения второй – точка плоскости.

Определение. Закон распределения одной из переменных при фиксированном значении другой называется условным распределением.

Определение. Связь между переменными называется статистической, если каждому значению одной переменной ставится в соответствие условное распределение другой переменной.

Отметим, что задание двумерной случайной величины равносильно заданию статистической связи между переменными.

Рассмотрим сначала двумерную дискретную случайную величину.

По аналогии с одномерным случаем, закон распределения двумерной дискретной случайной величины задается с помощью таблицы вида:

		…		…
		…		…
…	…	…	…	…	…
		…		…
…	…	…	…	…	…
		…		…

где

По аналогии с основным свойством закона распределения одномерной случайной величины, справедливо равенство

Приведенная таблица называется совместным законом распределения случайных величин Х и Y.

Пример #. Совместный закон распределения случайных величин Х и Y имеет вид:

	0,1	0,2
	0,3	0,4

Найти математическое ожидание случайной величины Х.

Решение. Прежде всего найдем закон распределения случайной величины Х. Так как

то закон распределения Х имеет вид:

X:
	0,3	0,7

Тогда

Оставляем читателю в качестве упражнения проверку того, что закон распределения случайной величины Y имеет вид:

Y:
	0,6	0,4

и

Определение. Связь между переменными называется функциональной, если каждому значению из области определения одной переменной поставлено в соответствие однозначно определенное значение другой переменной.

Примерами такого вида связи изобилует курс математического анализа:

, и т.д. и т.д.

Определение. Функциональная связь между значениями одной переменной и условными математическими ожиданиями другой переменной называется корреляционной.

Определение. График корреляционной зависимости называется линией регрессии.

Корреляционные зависимости бывают двух видов ( по и по ) в зависимости от того, которая из переменных выполняет роль аргумента: или . Соответственно, – точки корреляционной зависимости по и – точки корреляционной зависимости по .

Пример. По совместному закону распределения из предыдущего примера (Пример #) найти корреляционную зависимость по .

Решение. Применяя теорему умножения вероятностей, получаем

где вероятности, стоящие в числителях последних дробей, берутся из таблицы совместного закона распределения Примера #, вероятность найдена в том же примере. Таким образом, условное распределение случайной величины Y при имеет вид:

По этому закону распределения находим условное математическое ожидание:

.

Аналогично получаем:

Собирая вместе полученные результаты, запишем корреляционную зависимость по в виде следующей таблицы:

Упражнение. По совместному распределения Примера # убедиться, что корреляционная зависимость по имеет вид:

Рассмотрим теперь непрерывную двумерную случайную величину.

Определение. Функция называется плотностью распределения непрерывной двумерной случайной величины , если для произвольных чисел

() вероятность того, что в произвольном испытании значение случайной величины Z попадает в прямоугольник вычисляется по формуле

Условные плотности распределения определяются формулами:

Соответственно, условные математические ожидания тогда вычисляются по формулам: