Логарифмы

1º. Логарифмом числа b по основанию a (где ) называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b.

Логарифм числа b по основанию a обозначается символом log _ab. В записи log _ab число a называют основанием логарифма, число b – логарифмируемым числом.

Равенство означает, что .

2º. Основным логарифмическим тождеством называется равенство , которое справедливо при .

Например, .

3º. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg вместо log₁₀. Логарифм по основанию e (e =2,712828…) называется натуральным логарифмом и обозначается ln вместо log _e.

4º. Основные свойства логарифмов:

1) ;

2) ;

3) (логарифм произведения), где ;

4) (логарифм частного), где ;

5) (логарифм степени), где ;

Замечание. Если b<0, а p – четное целое число, то справедлива формула:

6) (формула перехода к другому основанию логарифма).

В частности, .

Пример 29. Найти .

Решение: Воспользуемся основным логарифмическим тождеством и свойством «логарифм степени».

.

Пример 30. Вычислить .

Решение: Для решения данного примера необходимо использовать все свойства логарифмов:

.

Пример 31. Вычислить .

Решение: Для решения данного примера используются все свойства логарифмов, а также основное логарифмическое тождество:

.

Ответ: 19.

Пример 32. Найти , если и .

Решение: Разложим числа 168, 54, 24 и 12 на множители:

. Полагая и , выразим через x и y все логарифмы, содержащиеся в условии:

;

;

.

Согласно условию для определения x и y получаем систему уравнений:

, решая которую находим , .

Подставим найденные значения x и y в равенство для определения , получим ответ: .

5º. Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных.

Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию.

Пример 33. Дано , где .

Найти выражение для x.

Решение: Потенцируя, получим:

, .