double arrow

Стереометрия. Многогранники

1º. Призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников (оснований), расположенных в параллельных плоскостях, и параллелограммов (боковых граней), число которых равно числу сторон оснований.

Если l – длина бокового ребра, P – периметр основания, Sосн – площадь основания, Sсеч – площадь перпендикулярного сечения; Sбок – площадь боковой поверхности, V – объем, H – высота, то:

; .

2º. Прямой называется призма, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Прямая призма называется правильной, если в ее основаниях лежат правильные многоугольники.

3º. Прямоугольным параллелепипедом называется прямая призма, основания которой – прямоугольники.

Если a, b, c – измерения параллелепипеда, d – диагональ, то:

; ; .

4º. Куб – прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны (a – ребро).

;

5º. Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник (основание), а остальные грани (боковые грани) – треугольники, имеющие общую вершину.

Если Sосн – площадь основания, V – объем, H – высота, то:

;

.

Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то:

1) боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;

2) вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности.

Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом α, то:

1) апофемы всех боковых граней равны;

2) вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание;

3) ; ;

6º. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.

Если P – периметр основания, l – апофема, Sбок – площадь боковой поверхности, то:

; ; .

6º. Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Для произвольной усеченной пирамиды: ,

,

для правильной усеченной пирамиды: ,

где S1 и S2 – площади оснований, h - высота, V – объем, P1 и P2 – периметры оснований, l – апофема; Sбок – площадь боковой поверхности.

Пример 49. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 6 см, 8 см, 10 см и все боковые ребра образуют с основанием углы по 45º. Тогда объем пирамиды равен:

1) 62 см3 2) см3 3) 40 см3 4) 24 см3 5) 96 см3.

Решение.

Дано: MABC – пирамида,

. Найти .

Так как , т.е. , то по теореме обратной теореме Пифагора – ΔABC – прямоугольный, , AB, BC – его катеты, AC – гипотенуза. По условию все боковые ребра пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания, значит, вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности, т.е. в середину гипотенузы ΔABC.

, .

В ΔAOM () острые углы треугольник равнобедренный, . Таким образом,

.

Ответ: см3 (№3 – правильный ответ).

Пример 50. Пусть в треугольной пирамиде все боковые грани образуют с плоскостью основания углы по 60º, и в основание вписан круг площадью 9π см2. Тогда высота пирамиды равна:

1) 3 см 2) см 3) см 4) 9 см 5) см.

Решение. Пусть радиус круга, вписанного в основание пирамиды, - r. Тогда площадь круга S равна: . Отсюда . Из прямоугольного треугольника OMN находим: .

Ответ: высота пирамиды равна см (№3 – правильный ответ).

Пример 51. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат площадью 16 см2. Через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего проведена плоскость. Площадь полученного сечения равна 20 см2. При этом полная поверхность параллелепипеда равна:

1) 96 см2 2) 48 см2 3) 40 см2 4) 80см2 5) 56 см2.

Решение.

Дано: ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, ABCD – квадрат, . см2, ABC1D1 – сечение параллелепипеда, см2. Найти .

.

По условию .

Тогда .

Вычислим СС1. По условию , , .

Из ΔBCC1: .

Окончательно, .

Ответ: см2 (№4 – правильный ответ).


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: