Технологии отыскания эффективных решений с учетом относительной важности критериев

Тема 17

Стр.

1. Технологии отыскания эффективных решений с учетом
относительной важности критериев …………………………………………... 2

2. Технология реализации базовых методов решения
многокритериальных задач …..…………………………………..…….……... 10

Литература ……………………………………………………………….…….. 28

Санкт-Петербург - 2012

1. Технологии отыскания эффективных решений с учетом
относительной важности критериев

Суждения об относительной важности частных критери­ев ЛПР может выразить как в качественной, так и в ко­личественной шкале. Если частные критерии измеряют­ся в различных, а тем более разных по классам шкалах (количественных и качественных), их оценки не могут быть пересчитаны в некоторую объективную шкалу оце­нивания (например, в универсальный денежный экви­валент), то трудно представить, как соизмерить их относительную важность. А сделать это иногда требуется как можно быстрее и как можно адекватнее, чтобы мож­но было сразу представить себе ценность какой-то кон­кретной альтернативы. В подобных ситуациях, когда информацию об относительной важности требуется по­лучить и использовать как можно быстрее и при этом обеспечить высокую адекватность и надежность суждений, более предпочтительным представляется учет от­носительной важности частных критериев в качествен­ной шкале (так называемая «качественная информа­ция об относительной важности»). К качественной информации об относительной важности частных кри­териев будем относить следующие вербальные сужде­ния:

§ «критерий с номером i важнее критерия с номером j»; информацию такого типа будем формально обозначать как inf= i pre j, от английского «preference»;

§ «критерии с номерами s и t равноценны по важности»; краткое обозначение inf=s ind t, от английского слова «indifference».

Напрямую использовать информацию inf=pre или inf=ind для дальнейшего сокращения размера множества eff(w_r iop) эффективных альтернатив и поиска наилучшего реше­ния среди них можно только для некоторых частных случаев. Во-первых, это случай, когда шкалы всех част­ных критериев, относительно которых получена инфор­мация inf=pre или inf=ind, однородны и имеют неболь­шое число дискретных градаций. Чаще всего для этих целей используют 3...7-балльные шкалы. Это обусловле­но тем, что дискретные однородные шкалы имеют важ­ную особенность. Если в какой-то исходной векторной оценке, имеющей значения в однородной дискретной шкале, например, w(a)=(2, 4, 7, 3, 5) значения частных критериев поменять местами, скажем так: (7,2, 4, 3, 5), то полученная оценка, назовем ее w(b), также будет иметь осмысленное значение. То есть ЛПР будет вос­принимать оценку w(b)=(7, 2, 4, 3, 5) как вполне воз­можную и уместную.

Второй частной ситуацией, когда возможно прямое ис­пользование качественной информации о равноценно­сти или превосходстве в важности одних частных кри­териев над другими, является такая, в рамках которой фигурируют сообщения о равноценности всех крите­риев между собой, об абсолютно строгом (лексикогра­фическом) упорядочении критериев по важности, а так­же — о симметрически-лексикографическом упорядо­чении частных критериев по важности. Обозначениями для этих особых случаев будут inf=sym, inf=lex и inf=sl соответственно. Заметим, что информация inf=lex о лек­сикографическом упорядочении настолько сильна, что позволяет всегда получить наилучшее решение даже непосредственно из исходного множества. Технология использования лексикографической информации для поиска решения задачи выбора даже не требует преоб­разования шкал критериев к однородной. Однако за по­добные технологические «удобства» приходится подчас жестоко расплачиваться потерей адекватности резуль­тата. Поэтому лексикографической моделью предпочте­ний следует пользоваться крайне осторожно.

Самая сложная в получении, но и самая действенная — это информация об относительной важности крите­риев в количественной форме. Это информация о ве­личинах замещений значений критериев между собой, о значениях коэффициентов важности частных критери­ев, количественная информация о допустимой степени взаимной компенсации значений тех или иных критериев, а также — о виде функции агрегирования частных критериев в обобщенные критерии. В некоторых случаях такая информация поступает от ЛПР сразу. Но это — ско­рее исключение из правил. Значительно чаще количест­венную информацию приходится получать по частям.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся способы реа­лизации технологий отыскания эффективных решений с учетом относительной важности критериев.

Технология преобразования натуральных шкал критери­ев в однородную дискретную шкалу. По всему множе­ству альтернатив определяют множество {w^H_i(a)} возможных значений оценок каждого частного крите­рия w^H_i в натуральной шкале. Затем ЛПР (или эксперт) решает вопрос о том, сколькими классами толерант­ных, то есть похожих, оценок это множество можно кон­цептуально описать. Например, ЛПР решило, что можно множество всех возможных значений оценок критерия w^H_i — «устойчивость фирмы при совершении финансо­вых операций» — концептуально характеризовать пя­тью классами значений с градациями: «Удовлетвори­тельный», «Вполне удовлетворительный», «Хороший», «Весьма хороший», «Отличный». Затем классы нумеру­ют в порядке возрастания предпочтительности введен­ных градаций. В нашем примере концептуальная оцен­ка была произведена таким образом:

1. «Удовлетворительный»;

2. «Вполне удовлетворительный»;

3. «Хороший»;

4. «Весьма хороший»;

5. «Отличный».

После этого множество значений w^H_i оценок каждого частного критерия в натуральной шкале графически ото­бражают в виде интервала . Этот ин­тервал представляют ЛПР (или эксперту). ЛПР ставит на отрезке точки, которые прибли­зительно отображают его преставления о границах то­лерантных значений критерия. Пусть для примера ЛПР рассматривает критерий «устойчивость фирмы при со­вершенствовании финансовых операций». Этот крите­рий имеет множество возможных значений в натуральной шкале, измеряющей вероятность «непотопляемос­ти» фирмы конкурентами в ходе совершения финансо­вых операций. Пусть оказалось, что все значения этого критерия лежат в диапазоне от 0,3 до 0,87. На рис. 1.1,а диапазон оценок критерия «устойчивость...» представ­лен в виде отрезка прямой, границы которого помечены значениями 0,3 и 0,87.

Рис.1.1. Схема преобразований натуральных шкал критериев в дискретную однородную шкалу

На рис. 1.1.а также обозначены точки, с помощью кото­рых ЛПР указало приблизительные границы введенных толерантных градаций. Так множество значений крите­рия «устойчивость...» на уровне «Удовлетворительный» отделены от множества значений на уровне «Вполне удовлетворительный» точкой со значением 0,45. Ана­логично точки со значениями 0,70, 0,80 и 0,85 разделя­ют множества значений «Хороший», «Весьма хороший» и «Отличный» соответственно. Поскольку градации про­нумерованы числами от 1 до 5 в порядке возрастания предпочтений, любую оценку критерия в натуральной шкале вероятности устойчивости предприятия или фир­мы в ходе совершения финансовой операции легко пре­вратить в оценку, имеющую значения в шкале {1,2,3, 4, 5}. Например, оценка вероятности 0,4 трансформируется в значение 3 для дискретного однородного критерия, а значение вероятности 0,86 — в значение 5. Если какой-то критерий имеет оценки в натуральной шка­ле, отрицательно ориентированные по предпочтению, схема преобразований остается прежней, только более предпочтительные значения дискретного однородного критерия будут соответствовать меньшим значениям кри­терия в натуральной шкале. Для примера на рис. 1.1,б показано, как на диапазоне [16,... 48} значений критерия w^H₂ «Продолжительность непрерывной работы персонала при составлении годового бухгалтерского баланса» в часах. Этот критерий желательно минимизировать. ЛПР разместило на числовой оси разделяющие точки 20, 24, 32, 40 так, как, по его мнению, располагаются грани­цы представленных пяти градаций предпочтительности. Однако теперь более предпочтительное значение в одно­родной шкале, равное 5, получат оценки продолжитель­ности непрерывной работы персонала, лежащие в диапа­зоне от 16 до 20 часов.

Рассмотренная схема преобразований имеет ряд преиму­ществ. Во-первых, ЛПР работает в привычном для него режиме, так как от него требуется делать лишь качест­венные суждения (типа «Удовлетворительно»,..., «От­лично») о значениях оценок критериев, исходя из по­нятного для него их смысла и ориентируясь на ясное представление о цели предстоящей операции. Во-вто­рых, такая схема не только превращает значения нату­ральных критериев в однородную шкалу, но и делает все новые однородные критерии положительно ориен­тированными по предпочтению. В-третьих, сравнительно небольшое число градаций однородного критерия существенно повышает действенность аксиомы Парето, так как существенно уменьшается число несравнений по правилу (w_i(a) w_i(b), i=l, 2,…..,m). В то же время использовать описан­ную технологию преобразования шкал следует достаточно осторожно. Это обусловлено тем, что на адекват­ность получаемых результатов и рекомендаций сущест­венное влияние оказывают число градаций выбранной ранговой шкалы и адекватность сортировки натураль­ных значений шкалы на толерантные градации.

Технология использования информации inf=ind. С целью обеспечения краткости изложения материала по этой и последующим технологиям будем векторные оценки критериев в однородных шкалах для различных альтер­натив обозначать не w(a), w(b), w(c) и т.п., а х, у, z и т.п. Пусть, например, inf=s ind t; это означает, что ЛПР счи­тает, что частный критерий с номером s и частный кри­терий с номером t имеют для него одинаковую относи­тельную важность. Технология отыскания эффективных альтернатив с учетом такой поступившей информации реализуется по следующему алгоритму:

1) преобразовать все натуральные шкалы критериев в од­нородную дискретную шкалу с одинаковым числом гра­даций;

2) выбрать какую-то альтернативу из исходного множе­ства, например х;

3) включить ее во множество недоминируемых;

4) взять очередную альтернативу из исходного множест­ва; назовем ее «претендент» и обозначим через у;

5) проверить, не доминируется ли «претендент» у альтер­нативой х из множества недоминируемых. Для этого по­строить специальное множество Y ^ind, состоящее из исход­ной оценки у и всех ей равноценных по информации ind. Равноценные по информации ind оценки получают из ис­ходной оценки у путем перестановки в ней местами оце­нок с номерами s и t. Оценку х сравнивают по Парето со всеми элементами из множества Y^md, то есть дейст­вуют по правилу:

.

Иначе говоря, х не менее предпочтителен, чем у по инфор­мации о равноценности частных критериев, если найдется хотя бы одна оценка z из множества Y^md (формально записывается как ), которая менее предпочтительна, по Парето, чем х. Если при сравнении по Парето, по правилу (w_i(a) w_i(b), i=l, 2,…..,m), хотя бы одно из нестрогих неравенств будет выполняться как строгое, то х доминирует над z, а следовательно, и над исходной векторной оценкой у;

6) если «претендент» у не доминируется, то проверить, не доминирует ли у над х (для этого надо будет по ана­логии с множеством Y'^nd построить множество X^ind); ес­ли «претендент» у доминирует над х, исключить альтернативу х из числа недоминируемых, а «претендента» у включить в число недоминируемых, иначе — «претен­дента» у также включить в число недоминируемых;

7) если среди альтернатив исходного множества осталась хотя бы одна еще не проверенная на эффективность, на­значить ее «претендентом», иначе — перейти к шагу 4;

8) последовательно проверять, не доминируется ли «пре­тендент» какой-либо из альтернатив, уже включенных во множество недоминируемых; при первом же обнару­жении факта доминирования над «претендентом» его из дальнейшего анализа исключить и перейти к шагу 7;

9) последовательно проверять, не доминирует ли «претен­дент» над какой-то из альтернатив, ранее уже вклю­ченных во множество недоминируемых; если окажется, что «претендент» доминирует над какой-то из альтер­натив, уже включенных во множество недоминируе­мых, эту альтернативу из множества недоминируемых исключить;

10) перейти к шагу 7;

11) проверить, все ли сообщения типа inf= s ind t исполь­зованы; если нет — обратиться к очередному сообще­нию inf = s ind t и перейти к шагу 5;

12) «Stop».

Технология использования информации inf=pre. Эта тех­нология аналогична технологии для информации inf=ind за одним исключением: на шагах алгоритма исполь­зуются не множества Y^ind и X^ind оценок, эквивалент­ных по предпочтительности соответствующим исходным оценкам у и х, а специальные множества «улучшенных по сравнению с исходными оценками» — Y^pre и Х^pre, со­ответственно. Чтобы из исходной оценки, например у, получить множество Y^pre улучшенных по информации inf=s pre t оценок необходимо:

1) преобразовать все натуральные шкалы критериев в од­нородную дискретную шкалу с одинаковым числом гра­даций;

2) проверить, является ли компонент у_s исходной век­торной оценки у больше по величине компонента y_t;

3) если компонент y_s>y_t, то получить оценку z из исход­ной оценки у путем перестановки в ней местами ком­понентов y_s и y_t;

4) включить оценку z во множество Y^pre;

5) проверить, есть ли еще сообщения типа s pre t для дру­гих номеров s и t;

6) если другие сообщения типа s pre t есть, перейти к шагу 1;

7) «Stop».

Технология использования информации inf=ind и inf=pre. Вначале для «претендента» строят множества Y^ind и Y^pre как это описано в предыдущих двух алгоритмах. Затем эти множества корректируют — из оценок множества Y^ind, используя информацию типа inf= s pre t, получают дополнительные оценки z для включения их во множе­ство Y^pre, а из оценок множества Y^pre, используя инфор­мацию типа inf= s ind t, получают дополнительные оцен­ки z для включения их во множество Y^ind. Расширенные таким образом множества Y^ind и Y^pre используются затем для поиска недоминируемых альтернатив, как это уже было описано.

Технология использования информации inf=sym. Нали­чие такой информации свидетельствует о равноценнос­ти всех частных критериев между собой, то есть для всех s и t верны сообщения типа inf=s ind t. Это позволяет воспользоваться более простой технологией для отыс­кания эффективных альтернатив, чем та, которая была описана для отдельного сообщения (или нескольких со­общений) вида inf= s ind t.

Выполняется следующая последовательность шагов:

1) преобразовать все натуральные шкалы критериев в од­нородную дискретную шкалу с одинаковым числом гра­даций;

2) сравниваемые оценки х и у преобразовать в оценки z(x) и z(y), соответственно, для чего в исходных оценках все компоненты упорядочить по возрастанию значений;

3) сравнить по Парето оценки z(x) и z(y);

4) если , если , иначе— х и у несравнимы и, следовательно, обе эффективны;

5) если остались еще оценки, которые не проверялись на эффективность, перейти к шагу 3;

6) «Stop».

2. Технология реализации базовых методов решения
многокритериальных задач

Рассмотрим базовые методы решения задачи выбора, по­лучившие широкое распространение в практике приня­тия решений. Наиболее известными и широко приме­няемыми из них являются;

— лексикографический метод и его модификации;

— метод последовательных уступок;

— метод главного критерия;

— метод агрегированного критерия («обобщенного пока­зателя»).

Все эти методы объединяет общий прием поиска наи­лучшего решения: векторный критерий тем или иным способом превращается в скалярную целевую функцию, а затем решается задача оптимизации.

Лексикографические задачи. Пусть ситуация обосно­вания решений характеризуется сведениями об абсо­лютном превосходстве в важности одних частных кри­териев над другими. В определенном смысле подобная ситуация полярно противоположна ситуации с инфор­мацией sym о предпочтениях ЛПР. Основанием для вы­вода об абсолютном превосходстве в важности одних частных критериев над другими является следующее. При предъявлении ЛПР для сравнения векторных оце­нок оно, прежде всего, обращает внимание на значения какого-то вполне определенного частного критерия. Следовательно, именно этот частный критерий ЛПР счи­тает абсолютно самым важным среди других частных критериев. ЛПР сравнивает значения оценок у альтер­натив вначале только по этому, самому важному частно­му критерию.

Если для какой-либо из альтернатив значение именно этого критерия окажется наиболее предпочтительным, то такую альтернативу ЛПР безоговорочно признает на­илучшей. Другими словами, ЛПР делает свой выбор вне зависимости от того, какие у этой альтернативы значе­ния оценок по остальным критериям. Если же значения самого важного частного критерия у не­которых альтернатив оказались одинаковы, ЛПР обра­щает внимание на значения другого (также вполне оп­ределенного) частного критерия, который является сле­дующим по важности в абсолютно упорядоченном ряду частных критериев, и т.д. Информация об абсолютном упорядочении критериев по важности столь совершен­на, что позволяет задать связное отношение нестрогого предпочтения на множестве даже неоднородных век­торных оценок, выделить из них лучшую и поставить ей в соответствие оптимальную стратегию. Информацию та­кого типа будем называть лексикографической и обозна­чать inf=lex, а задачи с подобной информацией об отно­сительной важности критериев будем называть задача­ми лексикографической оптимизации. Информация lex является весьма сильной в том смысле, что для дискретных множеств стратегий А она дает воз­можность практически всегда выделять единственное решение. В то же время описанный алгоритм лексико­графического выбора имеет существенные недостат­ки. Во-первых, получаемые решения обладают резко выраженной ортодоксальностью в том смысле, что они ориентированы исключительно на более предпочти­тельные частные критерии. В итоге допускается лю­бой мыслимый ущерб значениям остальных критериев. Во-вторых, в основе идеи перехода к сравнению после­дующего по важности компонента лежит вывод об «оди­наковости значений». На самом деле точно одинаковы­ми значения частных критериев могут оказаться только при использовании дискретных шкал, что само по себе достаточная редкость, а, следовательно, делая подоб­ный вывод, ЛПР всегда имеет в виду некоторую зону неразличимости (нечувствительности) к значениям кри­териев.

Симметрически лексикографические задачи. Иногда, рассматривая задачи с равноценными однородными кри­териями, ЛПР может считать недопустимой компенсацию уменьшения меньших значений одинаково важных кри­териев сколь угодно значительным увеличением боль­ших. Основанием для вынесения такого суждения мо­жет служить следующий факт. При сравнении альтерна­тив ЛПР обращает внимание на самые низкие значения частных критериев, вне зависимости от их конкретного наполнения. Если у каких-либо альтернатив самые ма­лые значения частных компонентов векторных оценок равны (но больше, чем у остальных альтернатив), то ЛПР принимает во внимание следующие по величине ком­поненты и т.д. Поскольку эта информация о равноцен­ных частных критериях, сравнение величин которых ЛПР осуществляет, по сути, лексикографически, то по­добный частный случай информации о равноценности будем обозначать symlex или информацией sl. Инфор­мация sl является более сильной, чем просто информа­ция sут о равноценности частных критериев, так как обладает всеми преимуществами лексикографической. Но одновременно symlex -задачи приобретают и все недостатки лексикографических.

Искусственные лексикографические задачи. В практи­ке часто применяют прием сведения задачи обоснова­ния решений с различающимися по важности частными критериями к задаче лексикографической оптимизации. Без потери общности можно считать, что упорядочение частных критериев по относительной важности задает­ся информацией

{1 рrе 2,2 рrе 3,..., (т-1) рrе т}.

Еще раз подчеркнем, что различие в важности по информации {r рге t} не носит абсолютного, лексикографического ха­рактера. От ЛПР получают информацию о том, какие ми­нимальные значения w^d_j по каждому из частных крите­риев w_i его бы вполне устроили. Информацию об этих «уровнях притязаний» в виде ограничений вида w _i>w^d_i i=l,2,...,m вводят в условия задачи. После этого в ходе поиска наилучшего решения вначале стремятся достиг­нуть минимально допустимой величины по первому кри­терию (или немного превысить уровень притязания), затем — минимально допустимой величины по второму критерию, при условии, что значение первого крите­рия не опускается ниже уровня притязания и т.д. Этот прием формально соответствует преобразованию ис­ходного критерия W скомпонентами w_i, в новый крите­рий W^упс лексикографическим упорядочением компо­нентов w_i ^уп = min {w_i, w^d_i}.

Метод последовательных уступок. В его основе лежит идея понижения размерности исходной задачи путем назначения главного критерия в специально формиру­емых двухмерных подзадачах условной оптимизации. Для этого в ходе вербального анализа исходов опера­ции все частные критерии w_i, i = 1, 2,..., т ранжируют и нумеруют в порядке убывания важности. Затем мак­симизируют первый, самый важный критерий w₁ и на­ходят его наибольшее значение W₁^max. Далее, исходя из практических соображений, лицом, принимающим решения, назначается некоторая уступка ₁ от достигнутого значения W₁^max. Величина уступки — это сво­еобразная плата за возможность повысить значения очередного по важности критерия w₂ от его достигну­того к данному шагу уровня w₂(a) для альтернативы а, обеспечивающей величину W ₁^max. В результате второй критерий может достичь величины w₂^max( ₁), завися­щей, естественно, от величины ₁ уступки по первому критерию. Затем назначают уступку ₂ по критерию w₂ (от значения w₂^max( ₁), ценой которой стремятся уве­личить значения критерия w₃, и т.д. Таким образом, ве­личины уступок последовательно назначаются в резуль­тате анализа только попарной взаимосвязи критериев. Выбирая уступки, ЛПР должно рассматривать только за­висимость W_i(W_i+1), не обращая внимания на остальные критерии. При этом чаще всего вначале даже незначи­тельная уступка _i от значения W_i^max приводит к суще­ственному увеличению значения критерия W_i+1, а затем с ростом величины уступки маргинальные приращения в значениях критерия W_i+1 резко уменьшаются. Сопос­тавляя получаемый в этом случае выигрыш по крите­рию W_i+1 с потерями в значениях критерия W_i, ЛПР окон­чательно назначает величину уступки и определяет значение W_j+1^max(). Следовательно, именно ранжиро­вание критериев по важности позволяет ЛПР ограничи­ваться назначением величины уступки для предыдуще­го критерия только с учетом поведения последующего.

Модифицированный лексикографический метод. Для ос­лабления недостатков лексикографических методов и по­лучения устойчивых решений даже для непрерывных шкал критериев можно использовать следующий прием. Введем для каждого из т-2 лексикографически упоря­доченных компонентов векторного критерия W функ­ции , i=2,3,..., m-1величин пороговых значений зон неразличимости. Для построения функций необходимо предъявлять ЛПР значения критерия W_i из области его возможных значений и выяснять, при ка­ких значениях одинаковы по предпочтительно­сти оценки и . После этого задача отыскания компромиссного решения осуществляется на основе идеи последовательных уступок. Таким обра­зом, для получения компромиссного решения достаточ­но иметь информацию о величинах , i=1,2,..., m-1 и рассматривать их как величины предельных уступок, используемых в методе последовательных уступок.

Метод главного критерия. Здесь агрегирование сводит­ся к назначению одного из критериев, например W_j, глав­ным и дополнительно требуют, чтобы значения всех ос­тальных, «неглавных» критериев , , у довлетворяли дополнительным ограничениям. Обычно указанная по­добласть задается ограничениями-неравенствами вида , поэтому задача оптимизации принимает вид:

. (2.1.)

Альтернатива а*, выделенная в ходе решения задачи (2.1.), как это следует из п. 3 темы 5, будет эффективной.

Метод агрегированного критерия («метод обобщенного показателя»). В этом методе частные компоненты векто­ра W сворачиваются в скаляр с помощью некоторой агре­гирующей функции , которая затем максимизируется с целью отыскания оптимальной альтернативы а*. Вид функции агрегирования для данного метода устанавливается на основе сложившихся в данной сфе­ре деятельности традиций; на основе предшествующе­го опыта или исходя из удобства вычислений, или на основе анализа допустимой компенсации увеличения значений одних критериев за счет уменьшения зна­чений других. В любом случае использование такого подхода может считаться корректным лишь тогда, ког­да ЛПР четко представляет, к каким последствиям при­водит использование того или иного вида функции агрегирования.

Если из существа задачи следует, что допустима компен­сация уменьшения абсолютных значений одних крите­риев за счет суммарного абсолютного увеличения дру­гих, то в качестве функции агрегирования может быть принята аддитивная функция

, (2.2.)

где — коэффициенты относительной важности одно­родных положительно ориентированных частных кри­териев w_i, удовлетворяющие условию нормировки

, , i=1,2,…,m.

Задачи, в которых выполняются условия для задания функ­ции агрегирования в аддитивной форме, весьма часто встречаются в практике исследования операций. Подоб­ные задачи связаны с критериями суммарного ущерба или прибыли, дохода, денежных или временных затрат по годам планирования или по этапам жизненного цик­ла экономических информационных систем и т.п., то есть там, где считается допустимым, что низкая ценность од­ной частной характеристики результата компенсируется высокой ценностью другого. При этом глобальная цен­ность результата представляется взвешенной коэффици­ентами важности суммой частных ценностей.

Иногда допустимой может считаться не абсолютная, а от­носительная компенсация изменения значений одних критериев другими, то есть ЛПР согласно с тем, что сум­марная степень относительного снижения одних критериев эквивалентна суммарному уровню относительно­го увеличения остальных. Это приводит к мультиплика­тивной функции агрегирования:

(2.3.)

Если из существа задачи следует полная недопустимость компенсации значений одних критериев другими, то есть требуется обеспечить равномерное «подтягивание» зна­чений всех критериев к их наилучшему уровню, то ис­пользуют агрегирующую функцию следующего вида:

. (2.4.)

Такой критерии часто используют в задачах планирова­ния «по узкому месту».

Общим случаем функции агрегирования является сред­няя степенная функция

(2.5).

где величина р, стоящая в показателях степени, отража­ет допустимую степень компенсации малых значений одних равноценных критериев большими значениями других критериев. Чем больше значение величины р, тем больше степень возможной компенсации. Так, на­пример, если величина , то есть не допустима ни­какая компенсация и требуется выравнивание значений всех критериев, то предельный вид агрегирующей функ­ции совпадает с выражением (2.4). Если , то есть требуется обеспечение примерно одинаковых уровней значений отдельных частных критериев, то функция агрегирования описывается выражением (2.3.). Важны­ми частными случаями среднестепенной функции яв­ляются линейная аддитивная (при р=1 получаем выра­жение (2.2)) и квадратичная (р=2) свертки, которые широко используются в задачах математической стати­стики, теории автоматического регулирования, матема­тическом программировании и т.д. Во всех этих случаях полагают, что . В задачах планирования уда­ров «по узкому месту» может считаться допустимой ком­пенсация увеличения одного из критериев сколь угодно большим уменьшением остальных, то есть . В этом случае оказывается приемлемой свертка вида;

(2.6.)

Для преобразования однородных шкал частных критери­ев, с целью последующей подстановки их значений в ка­честве аргументов функции агрегирования, целесооб­разно использовать следующий простой прием:

(2.7)

где — нормированное, натуральное, натуральное наименьшее и натуральное наибольшее из значений критерия i соответственно.

Метод семантического структурно-компенсационного исследования. С целью смягчения недостатков, прису­щих методам последовательных уступок, главного и агре­гированного критерия, а также сокращения затрат вре­мени на поиск наилучшего решения и повышения убеди­тельности выводов и рекомендаций в 1993 г. разработан специальный эвристический метод исследования про­блемной ситуации и решения задач построения функции выбора в условиях определенности. Основу метода со­ставляет процесс построения двух специальных графов, названных иерархическая семантическая структура (ИСС) и иерархическая компенсационная структура (ИКС) соот­ветственно. Кроме того, в этом методе предложен специ­альный алгоритм преобразования натуральных шкал ча­стных критериев в однородную шкалу и эвристический подход к определению коэффициентов важности этих критериев в интерактивно формируемой функции агре­гирования. С понятием ИСС мы уже встречались выше и знаем, как эта иерархическая структура строится. Что ка­сается ИКС, то это граф, вершинами которого являются ча­стные функции агрегирования типа (2.2)...(2.6.) груп­повых и терминальных критериев, фигурирующих в ИСС.

Начнем рассмотрение существа метода семантического структурно-компенсационного исследования с изуче­ния предложенного автором алгоритма преобразова­ния натуральных шкал критериев.

Пусть W — векторный критерий, а функция S(w_i) отобра­жает значения натуральной шкалы частного i-го кри­терия W_i в безразмерную шкалу х_i со значениями из ин­тервала [0; I]. Требуется установить, как особенности решаемой задачи (семантика частного критерия) и пред­почтения ЛПР влияют на вид функции S(w_i). При ре­шении задачи установления вида преобразования S(w_i), прежде всего, обратимся к главному принципу форми­рования критериев и, следовательно, отметим те осо­бенности частной натуральной шкалы, которые обус­ловлены семантикой частной цели ЛПР. Углубленный семантический анализ разнообразных практических це­лей и задач позволил автору выявить как характерные в предпочтениях ЛПР следующие особенности:

— «нижние» и (или) «верхние» уровни притязаний;

— «зоны нечувствительности» на отдельных фрагментах натуральной шкалы частного критерия;

— точки натуральной шкалы частного критерия, к кото­рым явно устремлено предпочтение ЛПР или которые являются нормативно заданными (квалификационны­ми) значениями.

Поясним эти особенности на примере. Пусть исходная си­туация (статус-кво) по какому-то критерию в момент при­нятия решений чрезвычайно неблагоприятна для ЛПР. Значения всех частных критериев в статус-кво примем за наименее предпочтительные. В таком случае любое улучшение значения этого критерия от наименее пред­почтительного уровня может рассматриваться ЛПР как вполне ощутимый успех. После того как значение рассматриваемого критерия достигнет некоторого уровня, ощутимого как явный сдвиг к улучшению, ЛПР, скорее всего, будет отождествлять любые превышения этого уровня как весьма полное (скажем на 70...80%) удов­летворение. Именно по этой причине такое значение было названо «нижний уровень притязаний». По ана­логии было введено понятие «верхнего уровня притязаний». Это уровень, достаточно близкий к идеальным по предпочтительности значениям частного критерия. Превышение «верхнего уровня притязаний» по срав­нению со status quo связывается в сознании ЛПР с пре­дельным значением ценности.

Введем далее понятие «зоны нечувствительности», кото­рое отражает одну из следующих особенностей предпо­чтений ЛПР:

— для ЛПР не представляют ценности значения критерия в некотором диапазоне значений, близких к статус-кво (такое положение означает, что в модели предпочте­ний ЛПР присутствует «нечувствительность слева»);

— остается неизменной ценность значений критерия в не­котором диапазоне, примыкающем к наиболее предпо­чтительным его значениям (такое восприятие исходов означает, что в модели предпочтений ЛПР присутству­ет «нечувствительность справа»).

Рассмотрим теперь случай, когда в натуральной шкале критерия присутствуют некоторые точки, на которые ЛПР прежде всего обращает внимание при принятии решений с использованием этого критерия. Например, успех финансово-хозяйственной операции может силь­но зависеть.от того, насколько точно по времени сопро­вождаемый груз прибудет в пункт назначения. Если он окажется в этом пункте раньше — его можно оставить на ответственное хранение без разгрузки, а можно раз­грузить за счет сверхурочных работ такелажников (за дополнительную плату). Если груз прибудет позже — придется платить штраф за опоздание. В этом приме­ре явно проглядывает «сходящийся» тип предпочтений: ценность значений критерия вне окрестностей какой-то особой точки резко убывает. Или другой пример. При характеристике должностного лица руководитель особое внимание обращает на то, исполняет или нет это лицо нормативную нагрузку по занимаемой должности. В по­добных ситуациях при оценке должностных лиц ЛПР обычно по-разному оценивает скорость изменения цен­ности значений критерия загруженности работников в случае недовыполнения и перевыполнения нормативных заданий. Проведенное С.Н. Воробьевым системное исследование описанных особых случаев предпочте­ний ЛПР позволило сформировать классы функций S(w_i), отображающие натуральные шкалы критериев w_i в без­размерную шкалу X_i со значениями из интервала [0; I]. На рис. 2.1. представлены концептуальные графики функций S(w_i).

Обозначения на рис. 2.1 имеют следующий смысл:

W^- — минимальное значение критерия;

W^-_np — значение нижнего уровня притязаний;

W⁺_np — значение верхнего уровня притязаний;

W^-_л — пороговое значение критерия при нечувстви­тельности слева;

W⁺_п — пороговое значение критерия при нечувствительности справа;

W_c — значение критерия, к которому сходятся предпо­чтения ЛПР;

W_H — значение критерия при «нормативном» типе пред­почтений.

На рис. 2.1, а представлен концептуальный график, ха­рактеризующий наличие «нижнего уровня притяза­ний» в модели предпочтений ЛПР по рассматриваемо­му частному критерию W_i. Из анализа этого рисунка следует, что до уровня W^-_np значений частного кри­терия w_i степень их предпочтительности изменяется весьма незначительно: достигает 0,1...0,2. В области значений, близких к уровню W^-_np, наблюдается резкое повышение ценности результатов по этому критерию для ЛПР.

Рис. 2.1. Концептуальные графики функций S(w_i)

Рост ценности заканчивается на уровне 1,0 для наилуч­шего значения W⁺ рассматриваемого частного крите­рия. На рис. 2.1, б наибольший темп роста ценности значений частного критерия w_i наблюдается на интер­вале его значений от W^- до W⁺_np. Здесь достигается ос­новная доля ценности, примерно 0,8...0,9 от максималь­ного значения. При дальнейшем увеличении значений критерия, на участке от W⁺_np до W⁺ темп нарастания ценности резко снижается, что свидетельствует о на­личии верхнего уровня притязаний в модели предпо­чтений ЛПР.

На рис. 2.1, в, г представлены концептуальные графи­ки, дающие представление об определенной нечувст­вительности слева и справа соответственно. На отрезке [W^-,W^-_л ] значения критерия никакой ценности для ЛПР не представляют (значения S(w)=0), а на от­резке [W_n⁺, W⁺] ЛПР не ощущает никакого прибавле­ния ценности (значения S(w) постоянны и равны 1,0). Рис. 2.1,д представляет концептуальную модель схо­дящегося типа предпочтений ЛПР, а на рис. 2.1.е — нормативного типа предпочтений.

Следует иметь в виду, что все графики на рис. 2.1. отража­ют лишь тенденции изменения ценности для различных значений натуральных шкал частного критерия. В каждом конкретном случае эти тенденции отображаются выпуклыми (в том числе линейными) или вогнутыми функциями, которые соответствуют убывающим (посто­янным) или возрастающим скоростям изменения ценно­сти в направлении возрастания значения критерия в натуральной шкале. Кроме того, при построении интерак­тивных проблемно-ориентированных систем поддержки решений в каждом конкретном случае отдельно решает­ся вопрос о значениях таких компонентов концептуаль­ных моделей, как величины W^-_np, W_л, W_n, W_c, W_H, X_c.

Предположим теперь, что ИСС уже построена. Условимся группы критериев, находящихся на самых нижних уров­нях иерархии, называть финальными. Критерии финаль­ных групп будем называть терминальными. Пусть теперь натуральные шкалы всех терминальных критериев пре­образованы в соответствии с представленным алгорит­мом, и теперь необходимо ответить на вопрос, какими способами оценивать коэффициенты важности групп и частных критериев в них.

Будем относительную важность групп характеризовать числами Г_j >0, в сумме равными единице в пределах сво­его уровня иерархии. Относительную важность отдель­ных частных критериев будем измерять только в преде­лах своей группы и определять числами , в сумме также равными единице. Таким образом, если в какой-то группе будет только один частный критерий, то его важ­ность будет приниматься равной единице. Каждый спо­соб определения коэффициентов важности имеет опре­деленную точность и может быть охарактеризован не­которыми затратами.

Воробьев С.Н. предложил целесообразность выбора того или иного способа определения коэффициентов важно­сти ставить в зависимость от уровня иерархии группы, в которую входит тот или иной критерий, от важности самой группы, а также — от числа частных критериев в группе. Почему так? А вот почему. Несомненно, что чем выше уровень иерархии, тем большую концептуаль­ную значимость имеет каждая входящая в него группа по сравнению с группами нижележащих уровней, и, сле­довательно, тем точнее требуется метод для взвешива­ния важностей групп. Но более точный метод одновре­менно и более сложный и требует более высоких затрат на получение результата. Кон­цептуальный анализ совокупности указанных характе­ристик качества для наиболее употребительных мето­дов оценки коэффициентов важности позволил затем получить результаты, которые удобно изобразить в виде номограммы-классификатора способов оценки важности критериев и их групп в ИСС. Такая номограм­ма-классификатор представлена на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Номограмма-классификатор способов оценки важности критериев и их групп в ИСС

Итак, будем считать, что мы выбрали способ и оценили коэффициенты важности Г_i и . Это значит, что мы по­лучили почти всю информацию, необходимую для пост­роения функции агрегирования как отдельных групп, так и терминальных критериев в них. Осталось выбрать только функцию для сворачивания оценок отдельных групп и частных критериев в обобщенный критерий.

Так вот, основное преимущество методики семантическо­го структурно-компенсационного исследования состоит в том, что для каждой группы критериев ИСС предлагается формирование своего (в общем случае отличного от ос­тальных) локального обобщенного показателя. Локальный обобщенный показатель отражает особенности компен­сации значений отдельных критериев именно в данной группе. В итоге иерархия целей операции и соответствующая ей семантическая структура частных критериев порождает иерархическую компенсационную структуру (ИКС) для агрегирования частных компонентов вектор­ного критерия. Таким образом видим, что между обеими структурами существует и постоянно поддерживается вполне «осязаемая» для ЛПР связь. На рис. 2.3. пред­ставлен пример ИКС для какой-то отдельной группы, со­стоящей из восьми частных критериев W₁ W₂, W₃,...,W₈.

Рис. 2.3. Пример ИКС для группы критериев

Прямоугольниками на рис. 2.3. обведены подгруппы рас­сматриваемой группы критериев, которые будут локаль­но сворачиваться с использованием какого-то вполне определенного типа агрегирующей функции. Выраже­ние как раз и означает конкретный вид s функ­ции свертки.

Процесс агрегирования геометрически представлен на рис. 2.3. в виде стрелок, направленных от соответству­ющих подгрупп критериев к эллипсу с вписанным в не­го типом функции свертки. Анализ примера на рис. 2.3. позволяет сделать вывод о том, что сворачиваться могут не только отдельные частные критерии в подгруппах, но и подгруппы между собой. Например, с использова­нием свертки вида сворачиваются три критерия из подгруппы {W₁,W₂, W₃}, критерии {W₄, W₅} локаль­но агрегируются сверткой типа после чего функ­ция сворачивает три уже свернутые подгруппы {W₁, W₂, W₃}, {W₄, W₅} и {W₆, W₇}.

Свертка вида сворачивает полученный с помощью свертки вида результат со значениями терминаль­ного частного критерия W₈.

Следует отметить, что в случае построения иерархиче­ской компенсационной структуры для одной группы критериев (групповых или терминальных), важность каждого из критериев рассматриваемой группы обязательно должна быть пересчитана. Иначе относительная важность подгруппы частных критериев, объединяемых в рамках общей для этой подгруппы схемы компенсации, может кардинально исказиться. Поясним это на приме­ре. Пусть рассматривается группа критериев, входящих в глобальный критерий, которая сворачивается с абсо­лютной суммарной (линейной) степенью компенсации. Эту функцию можно представить как сумму двух сумм, т.е.

где коэффициенты должны подбираться так, чтобы выполнялось равенство значений сумм (гло­бального критерия). Следовательно, должно выполнять­ся равенство:

из кото­рого следует, что

Таким образом, укрупненная методика построения функ­ции агрегирования на основе локальных обобщенных показателей включает следующие действия:

1. Построить ИСС критериев, определить оценки Г_j важно­сти групп.

2. Оценить важность критериев внутри каждой финаль­ной группы. Рациональный способ оценивания выбрать, сообразуясь с важностью и уровнем иерархии группы.

3. При необходимости скорректировать оценки важности групп и критериев внутри их с учетом возможных кон­фигураций, которые могут образовывать группы и кри­терии между собой.

4. Выделить группы критериев, вносящие «основную до­лю вклада» в достижение цели на данном уровне ие­рархии. На основании анализа значений коэффици­ентов Г_j важности групп и в соответствии с правилом «20/80» установить подгруппу критериев, вносящую «основную долю вклада» для рассматриваемого уров­ня иерархии.

5. В каждой группе на основании анализа значений коэф­фициентов критериев в ней выделить критерии, вно­сящие «основную долю вклада» в данной группе (также по правилу «20/80»).

6. Проанализировать группы по п.4 с целью установле­ния допустимой степени компенсации между обобщен­ными оценками, которые будут вычислены для групп.

7. Проанализировать подгруппы по п.5 в них с целью ус­тановления допустимой степени компенсации между оценками критериев в каждой группе.

8. На основании ИСС по п.1 и результатов анализа по п.п.б и 7 построить ИКС для формирования агрегирующего критерия.

9. Для каждой из альтернатив ЛПР оценить значения всех терминальных критериев. После чего в соответствии с ИКС, двигаясь вверх по уровням ее структуры, произ­вести последовательное «сворачивание» значений оце­нок финальных критериев в агрегированный.

10. Все альтернативы упорядочить по значениям норми­рованных ценностей, приписанных им агрегирующим критерием.

Обратим внимание еще на одну из особенностей предла­гаемой методики. Эта особенность состоит в том, что вы­бор вида свертки для агрегированного критерия в под­группе в соответствии со сформированной ИКС производят с учетом степени допустимой компенсации не всех групп рассматриваемого уровня ИСС и не всех крите­риев каждой группы, а только той их части, которая дает «основную долю вклада». Это делается для групп на каждом из уровней ИСС. Подобный прием позволяет не сковывать себя ограничением по числу групп и чис­лу критериев в группе, что создает более комфортные условия для работы ЛПР и экспертов. После определе­ния коэффициентов важности и применения правила «20/80» задача редукции числа групп и числа критери­ев в группах будет решена автоматически.

На основе рассмотренного метода семантического струк­турно-компенсационного исследования еще в 1994 г. разра­ботана концепция машинной реализации интерактив­ной проблемно-ориентированной системы эвристичес­кого выбора (ИПОС ЭВ). Концепция получила условное имя «DEMIS» (Decision Making Interactive System), кото­рая была программно реализована в 1995 г. с именем «DEMIS». Многолетняя эксплуатация ИПОС ЭВ «DEMIS» показала высокую эффективность этого про­граммного продукта.

Литература

1.Балдин К. В., Воробьев С. Н. Управленческие решения: теория и технологии принятия. Учебник для вузов. – М.: Проект, 2004. – 304 с.