Расчетные соотношения для анализа азимутально-угломестных опорно-поворотных устройств

Требования к ОПУ определяются, главным образом, угловыми скоростями и ускорениями ИСЗ относительно точки наблюдения (станции сопряжения). Направление на ИСЗ в топоцентрической полярной системе координат задается двумя углами: азимутом a и углом места b. При движении ИСЗ по орбите азимут a и угол места b изменяются во времени по вполне определенному закону, зависящему от параметров орбиты ИСЗ.

На рисунке 2 показан видимый (геометрически) из пункта наблюдения на поверхности Земли (точка А) участок орбиты B ₁ SB ₂.

Рис. 2. К определению текущих угловых координат ИСЗ

Ось OY ₀ геоцентрической орбитальной системы координат, для удобства, ориентирована в точку S, соответствующую максимальному углу места для заданной траектории (параметру P). Ось OX ₀ перпендикулярна оси OY ₀.Ось OF,являющаяся вспомогательной, лежит в плоскости местного горизонта.Линия B ₁ B ₂является линиейпересечения плоскости орбиты с плоскостью местного горизонта. Угол места b отсчитывается от плоскости местного горизонта до линии визирования ИСЗ. Азимут a, для удобства, отсчитывается от оси OF до проекции линии визирования ИСЗ на плоскость местного горизонта. При такой системе отсчета азимута угол места равен параметру орбиты P при a = 0.

Зависимости азимута a и угола места b от времени при заданных высоте орбиты h и параметре P определяются выражениями [2]:

(1)

(2)

где r = R _З+ h; R з= 6378 км. – радиус Земли; h – высота орбиты; w – угловая скорость движения ИСЗ; d – угол между плоскостью орбиты ИСЗ и направлением из центра Земли на пункт наблюдения.

Формулы (1) и (2) получены при следующих допущениях:

– движение ИСЗ осуществляется по круговой орбите высотой h;

– вращение Земли не учитывается.Для орбит типа LEO (высота 700¸1500 км) время наблюдения ИСЗ составляет десятки минут [3], что намного меньше периода обращения Земли. Поэтому учет вращения Земли мало влияет на изменение значений угловых координат и угловых скоростей.

Уточним входящие в выражения (1) и (2) параметры d и w. Угол dопределяется выражением:

(3)

Если положить P = b _min, то угол d равен центральному углу (угловому размеру) зоны радиовидимости q [2].

Угловая скорость движения ИСЗ по орбите wопределяется периодом обращения T: w = 2p /T. Для круговой орбиты период обращения можно найти по следующей упрощенной формуле [4]:

(4)

С использованием полученных выражений можно проследить изменение a и b от времени при движении ИСЗ по круговой орбите с заданными параметрами h и P.

Время t изменяется от t ₁ до t ₂, которые соответствуют моментам выхода ИСЗ из-за горизонта и захода за горизонт. Значения t ₁ и t ₂ находятся из выражений

(5)

Требования к ОПУ, т.е. требования к скоростям вращения антенны по азимуту и углу места, можно сформулировать проанализировав скорости изменения соответствующих координат ИСЗ.

Скорость изменения азимутальной координаты – угловая скорость движения ИСЗ по азимуту относительно пункта наблюдения w_α – находится дифференцированием выражения (1) по времени, т.е. d a /d t = w_α. Модуль нормированной к угловой скорости ИСЗ скорости изменения азимутальной координаты определяется выражением:

(6)

Рассмотрим некоторые предельные случаи.

Если d = 0, то максимальный угол места b _max= P = 90°, т.е. ИСЗ проходит через зенит (например, по меридиану, проходящему через пункт наблюдения). Для всех точек траектории, когда wt ¹ 90°, | w_α / w | = 0, поскольку sin d = 0, а знаменатель (1 – sin² wt cos² d) ¹ 0. В точке wt = 90° и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получаем

(7)

Физически это означает, что в случае d = 0 (ИСЗ проходит через зенит) изменяется только угломестная координата, а азимутальная остается постоянной, т.е. | w_α / w | = 0. В зените скорость ИСЗ по азимуту возрастает до бесконечности, а затем снова | w_α / w | = 0. Это означает, что при сопровождении ИСЗ требуется переброс антенны на 180° за бесконечно малое время. Поскольку скорость движения антенны по координатам всегда ограничена, возникает ошибка сопровождения ИСЗ. Зависимость азимутальной скорости от времени можно представить графиком в виде дельта-функции в точке wt = 90°.

Если d ¹ 0 ( ИСЗ через зенит не проходит), а wt = 90° скорость по азимуту равна

(8)

При этих условиях выражение (8) соответствует максимальной скорости по азимуту при заданном d. Расстоянии ИСЗ от пункта наблюдения при этом минимально.

Скорость изменения угломестной координаты – угловая скорость движения ИСЗ по углу места относительно пункта наблюдения w_β – находится дифференцированием по времени выражения (2), т.е. d b / d t = w_β. Нормированная к w скорость по углу места равна

(9)

где

Если d = 0 (ИСЗ проходит через зенит), а wt ¹ 90°, то

(10)

При d = 0 и wt = 90° угломестная скорость равна

(11)

При этих условиях скорость по углу места максимальна, а расстояние между ИСЗ и пунктом наблюдения минимально.

Если d ¹ 0, а wt = 90°, то w_β = 0, что соответствует достижению ИСЗ максимального угла места, после чего угломестная скорость меняет знак.

Приведенные соотношения позволяют рассчитать законы изменения угловых координат ИСЗ в процессе движения его по орбите, оценить максимальные значения угловых скоростей и, тем самым, сформулировать требования к характеристикам привода ОПУ.