2015-01-30
734
Формула полной вер-ти. Теорема.
Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) А1,А2,…,Аn, образующих полную группу, то вер-ть соб F =сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вер-и события F. 
По условию гипотезы А1,А2,…,Аn образуют полную группу, ->, они единственно возможные и несовместные. Т.к А1,А2,…,Аn - единственно возможные, а соб F может произойти только вместе с 1 из гипотез, то 
. В силу т\ч А1,А2,…,Аn несовместны, можно применить теорему сложения вер-ей: 
По теореме умножения вер-ей 
.Следствием Т умножения и формулы полной вер-ти явл формула Байеса.
Формула Байеса: Пусть Н1, Н2 …— полная группа событий и A — некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Нk, если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:
 |
Доказательство: По определению условной вероятности,
Пример: Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0,00001. Можно сделать два предположения об эксперименте: 
и 
.
Априорные вер-ти этих гипотез одинаковы: 
.
Рассмотрим событие 
. Известно, что 
Поэтому вероятность пуле попасть в мишень 
Предположим, что событие 
произошло. Какова теперь апостериорная («после опыта») вероятность каждой из гипотез 
? Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в 
раз). Действительно,
