Распределение дисперсии в выборках нормальной совокупности

Распределение χ² Пирсона.

Выборочная дисперсия так же является случайной величиной, меняющейся от выборки к выборке.

1) М(Х) – известно;

2) М(Х) – не известно.

1) Имеется случайная величина Х, которая подчиняется нормальному закону с параметрами (m, σ²),

где: х_i(i = 1, 2, …, n) – независимые наблюдения над случайной величиной.

Для дисперсии мы выбираем вот такую оценку:

- несмещённая, состоятельная и эффективная оценка дисперсию генеральной совокупности.

Величина U_i является случайной величиной с параметрами (0;1).

Случайная величина, представляющая собой сумму квадратов n независимых случайных величин, каждая из которых подчиняется нормальному закону распределения с параметрами (0;1) и независимых случайных величин с распределением χ² с к = n – степенями свободы.

Сама функция плотности вероятности f(χ²) имеет вид:

Эта функция зависит только от объёма выборки и не зависит ни от математического ожидания, ни от дисперсии, ни от х.

Имеются таблицы распределения χ² позволяющие вычислить вероятность события

,

где: к – число степеней свободы;

α – доверительная вероятность, которая задаётся самим исследователем.

2) Математическое ожидание неизвестно.

Когда случайная величина Х с параметрами (m, σ²) – неизвестны.

Для оценки дисперсии генеральной совокупности используется величина:

Случайная величина имеет распределение χ² с к = n – 1 степенями свободы.

Уменьшение степени свободы использована для получения среднего выборочного.

Пример. Для случайной величины подчиняющейся закону χ² числом степеней свободы к = 7 найти отклонение вероятность превышения которого равна 0,05.

Решение:

На пересечении столбца «0,05» и строки с числом степеней свободы «7» - число 14,1.

Пример. Проведено 10 независимых испытаний над случайной величиной имеющей нормальное распределение с параметрами (0;4). Найти вероятность того, что сумма квадратов результатов наблюдений превысит 16.

Решение: х₁, х₂,…,х_n n = 10

Случайная величина нормальный закон распределения (0;1)

- подчиняется закону χ² распределения.

По таблице распределения χ² для случая к = n = 10 в строке находим число близкое к 4 (3,96), столбец – 0,95.

Раздел. Основы дисперсионного анализа.

Дисперсионный анализ – это статистический метод анализа результатов наблюдений зависящий от различных одновременно действующих факторов и позволяющий выбрать из ряда факторов наиболее важные, оценивать их влияние.

Основными предпосылками дисперсионного анализа является как правило нормальное распределение результатов наблюдений и отсутствие влияния исследуемых факторов на дисперсию результатов наблюдения.

Обязательным здесь является возможность управляемого изменения фактора в рамках его разновидностей называется уровнями фактора. Эти эксперименты могут быть пассивными, когда существование уровней и их смена является естественными для исследуемого объекта и активными, когда эти изменения искусственно вносятся экспериментатором по заранее составленному плану.

Идея дисперсионного анализа в разложении общей дисперсии случайной величины на независимые случайные слагаемые, каждый из которых характеризует влияние того или иного фактора, или их взаимодействие. Последующие сравнения этих дисперсий позволяют оценить сущность влияния факторов на исследуемую величину.

Пусть Х – это некоторая случайная величина зависящая от 2 ^х действующих на неё факторов А и В.

- среднее значение исследуемой величины.

Отклонение:

где: α – отклонение вызванное фактором А;

β – отклонение вызванное фактором В;

γ - отклонение вызванное другими факторами.

α, β, γ – случайные величины независимы.

Дисперсию случайной величины Х, α, β, γ обозначим:

где: величина - остаточная дисперсия учитывающая влияние случайных и прочих неучтённых факторов.

Для независимых и случайных величин имеет место равенство:

Сравнивая или с величиной можно установить степень влияния факторов А и В на величину Х по сравнению с неучтёнными и случайными факторами.

Сравнивая между собой и мы можем оценить сравнительную сте­пень влияния факторов А и В на величину Х.

Дисперсионный анализ позволяет на основании выборочных данных най­ти все значения дисперсии . Далее используя соответствующие критерии можно оценить степень влияния параметров А и В на исследуемую случайную величину.

Если речь идёт о влиянии одного фактора на исследуемую случайную величину, то речь идёт об однофакторном дисперсионном анализе. Если же речь идёт о многих факторах, то говорят о многофакторном дисперсионном анализе.