Однофакторный дисперсионный анализ

Большое количество практических задач приводится к задачам од­но­фак­торного дисперсионного анализа.

Типичным примером является работа технологической линии в составе ко­торой имеется несколько параллельных рабочих агрегатов.

На выходе имеют место какие-то детали. Эти детали по какому-то параметру можем контролировать.

Ясно, что среднее значения контролируемых параметров после каждого станка будут несколько отличаться.

Вопрос: Обусловлены ли эти отличия действием случайных факторов или имеет место влияние конкретного станка агрегата.

В данном случае фактор только один – станок.

Совокупность размеров деталей подчиняется нормальному закону распределения, и все эти совокупности имеют равные дисперсии.

Имеется m станков, т.о. имеется m совокупностей. Из этих совокупностей мы проводим выборки объёмом n. Так, что значение параметров i-той совокупности i: .

Все выборки можно записать в виде таблицы, которая называется матрицей наблюдения.

i \ j			.	j	.	n	Ср. выбо­рочное
	x11	x12	.	x1j	.	x1n
	x21	x22	.	x2j	.	x2n
.	.	.	.	.	.	.	.
i	xi1	xi2	.	xij	.	xin
.	.	.	.	.	.	.	.
m	xm1	xm2	.	xmj	.	xmn

Выдвигаем гипотезу Н₀ заключающуюся в равенстве средних выборочных.

Гипотеза Н₀ проверяется сравнением внутригрупповых и межгрупповых дисперсий по F критерию Фишера.

Если расхождение незначительно, то принимается гипотеза Н₀, в противном случае гипотеза Н₀ отвергается.

Далее находят сумму квадратов отклонений от общего среднего:

Ноль потому, что стоит сумма от - сумма отклонений переменных одной совокупности от средней арифметической той же совокуп­ности.

Слагаемое Q₁ является суммой квадратов разностей между средними отдельных совокупностей и общей средней всех совокупностей. Эта сумма называется суммой квадратов отклонений между группами. Она характеризует систематическое отклонение между совокупностями наблюдений.

Величину Q₁ – рассеяние по фактору.

Слагаемое Q₂ – представляет собой сумма квадратов разностей между отдельными и средней соответствующей совокупности. Эта сумма называется суммой квадратов отклонений внутри группы.

Она характеризует остаточное рассеяние случайных погрешностей совокупностей.

Величина Q называется общей или полной суммой квадратов отклонений отдельных отклонений от общей средней.

Получим оценки дисперсий:

- дисперсия обусловленная влиянием фактора;

- остаточная дисперсия – влиянием случайных и других неучтённых факторов.

- полная дисперсия.

Далее формируем оценку различия между оценками

подчиняется распределению f ² Фишера.

Выбираем уровень значимости α, или доверительной вероятности 1– α = Р и по таблице F-распределения с числом степеней свободы: к₁ = m–1; к₂ = m(n–1) находим критическое значение Фишера.

Сравнивая между собой F_н и F_кр,α мы делаем вывод насколько сильно влияние интересующего нас фактора на исследуемую случайную величину.

В этом и состоит идея дисперсионного анализа.

Однофакторный дисперсионный анализ обычно представляют в виде таблицы.

	Компоненты дисперсии	Оценки дисперсии	Число степеней свободы
Основной фактор	Межгрупповая дисперсия		m - 1
Случайные, неучтенные факторы	Внутригрупповая дисперсия		m(n - 1)
	Общая дисперсия		mn - 1

Пример: Исследуем влияние числа оборотов вращения центрифуги при нанесении фоторезиста на равномерность слоя фоторезиста.

Отклонение толщины плёнки от среднего значения равно 1 мкм при различных частотах вращения центрифуги помещены в таблице:

Частоты вращения центрифуги об/мин	Наблюдения	Среднее ариф. значение
	0,16	0,06	0,18	0,22	0,12	0,22	0,20	0,06	0,140
	0,04	0,13	0,14	0,04	0,06	0,14	0,06	0,08	0,085
	0,06	0,02	0,06	0,06	0,04	0,04	0,02	0,06	0,045
									=0,09

Задаётся уровень значимости α = 0,05, Р = 0,95.

Н₀ неверна, т.к. Р(F_н > F_кр) = α

Н₁ – зависит от частоты вращения центрифуги.