Семинар 4. Распределение Гиббса

Одной из важных проблем молекулярной физики является распределение энергии e_о между различными частями изолированной системы. Совокупность незамкнутых систем, имеющих возможность обмениваться энергией только между собой, называется каноническим ансамблем. На вопрос, какова вероятность того, что система имеет некоторую энергию , при условии что e_a<<e_о, отвечает распределение Гиббса, или каноническое распределение:

(4.1)

Так как , то выражение (7.6) примет вид

, (7.7)

отсюда получается выражение для :

. (7.8)

З а д а ч и

7.1. Для определения числа Авогадро Перрен измерял распределение по высоте шарообразных частиц гуммигута, взвешенных в воде. Он нашел, что отношение числа частиц в слоях, отстоящих друг от друга на расстояние l=30 мкм, равно 2,08. Плотности частиц = 1,194 г/, воды =1 г/. Радиусы частиц r = 0,212 мкм. На основании этих данных вычислить число Авогадро. Температура воды t=18°C.

7.2. Методом статистической суммы найти среднюю потенциальную энергию молекулы воздуха в идеальной атмосфере (g=const, T=const на любой высоте). Вычислить молярную теплоемкость газа С^m. Считать, что молекулам газа доступна высота от нуля до бесконечности.

7.3. В теплоизолированный цилиндрический сосуд высоты H помещен моль идеального газа с относительной молекулярной массой. Цилиндр подвешен в вертикальном положении в однородном поле тяжести. Температура газа в сосуде везде одинакова и равна T. Найти среднюю потенциальную энергию молекулы газа, теплоемкость этого газа, учитывая влияние поля тяжести и предполагая, что .

С помощью статистической суммы Z можно формализовать вычисление среднего значения энергии и ее дисперсии:

(4.8)

(4.9)

З а д а ч и

4.1. Рассмотрим произвольную макроскопическую систему при комнатной температуре.

а) Воспользовавшись определением термодинамической температуры, найти процентное увеличение числа микроскопических состояний, доступных такой системе, при возрастании ее энергии на эВ.

б) Система поглотила единичный фотон видимого света

(= 5×см). Во сколько раз изменилось число доступных системе микросостояний?

4.2. Определить отношение числа атомов газообразного натрия в состоянии 3Р к числу атомов в основном состоянии 3S

при температуре Т =2400 К. Известно, что переходу 3Р à 3S соответствует спектральная линия с длиной волны =589нм. Кратности вырождения состояний 3Р и 3S равны соответственно 6 и 2.

4.3. Квантовый гармонический осциллятор характеризуется набором дискретных состояний с энергией